Nombre dérivé d'une fonction \(f\) en un réel \(a\)
Niveau de cette page : première générale et premières technologiques.
C’est par le nombre dérivé d’une fonction \(f\) pour une valeur réelle de \(x = a\) qu’est introduit en classe de première un chapitre particulièrement important, celui de la dérivation. C’est donc probablement avec un vif enthousiasme que vous vous apprêtez à lire cette page (enfin bon, même sans enthousiasme, elle reste utile)…
Pour cette toute première approche, commençons par définir le taux de variation.
Taux de variation
On l'appelle parfois taux d'accroissement ou « taux de croissance » mais nous réserverons ce dernier terme à une définition différente (voir les pourcentages d'évolution). Il mesure la variation relative entre deux grandeurs. Mathématiquement, c'est l'écart entre deux valeurs d’une fonction \(f\) rapporté à l'écart qui existe entre leurs deux antécédents.
\[\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]
Donc, ici, \(a\) et \(b\) sont deux bornes d’un intervalle (dans le plan, ce sont bien sûr les abscisses). Peut-être cette définition mathématique vous rebute-t-elle mais il s’agit en fait d’une notion toute simple que vous avez étudiée au collège et en seconde dans d'autres problématiques. Prenons un exemple concret.
Soit une quantité d’objets mis en rayon par un commerçant. Au cours de janvier, il vend 100 objets, en février il en vend 150 et en avril 400. Avec ces informations, on peut calculer deux taux de variation successifs, l’un entre janvier et février et l’autre entre février et avril.
Le nombre d’objets vendus dépend du temps. Donc, les valeurs de \(x\) indiquent des fins de mois (par exemple 1 pour fin janvier, 2 pour fin février…) et \(f(x)\) nous donne le nombre d’objets vendus au cours du mois \(x.\)
Entre janvier et février, le taux s’établit à \(\frac{150 - 100}{2 - 1} = 50.\) Entre février et avril, il est de \(\frac{400 - 150}{4 - 2} = 125.\)
Prenons maintenant un exemple plus « mathématique ». Soit la fonction \(f: x\mapsto x^2 - x.\) Quel est le taux de variation entre 1 et 3 ?
Il est facile de trouver que \(f(1) = 0\) et \(f(3) = 6.\) Le taux entre 1 et 3 s’établit donc à \(\frac{6 - 0}{3 - 1},\) donc 3.
Par commodité, raisonnons directement avec l'écart entre \(a\) et \(b,\) nommé \(h\) (ou \(\Delta x\)) :
\[\frac{f(a+h) - f(a)}{a - (a +h)}\]
Soit tout simplement...
\[\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]
Soit deux points de la courbe représentative de \(f\) que sont \(A(a\,; f(a))\) et \(B(a+h\,; f(a + h)).\) La droite \((AB)\) est appelée sécante à la courbe de \(f\) issue de \(A.\) Son coefficient directeur est le taux de variation entre \(a\) et \(a+h.\) Et c'est là que vos souvenirs ressurgissent. Ha oui, le coefficient directeur \(a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\) qui ressemble furieusement à notre taux de variation...
Nombre dérivé
Cette notion de taux de variation va nous permettre de définir le nombre dérivé en \(a.\) Il est la limite du taux lorsque \(h\) tend vers zéro.
\[f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}\]
En classe de première, cette notion de limite est nouvelle, ce qui complique un peu la compréhension du chapitre. Sachez que pour calculer une limite quand \(h\) tend vers 0, il suffit de remplacer \(h\) par 0.
Concrètement, on prend un écart très petit entre les deux valeurs. Au lieu d’observer des niveaux de vente entre deux mois, ce sera entre deux jours ou deux heures. Toutefois cet exemple suppose que les ventes sont absolument continues dans le temps. De même, au lieu de déterminer le taux de variation d’une fonction entre 1 et 3, on peut chercher à le connaître entre 2,49999… et 2,5. Comme la fonction est continue, on peut aussi le calculer sur un écart infiniment petit c’est-à-dire non plus entre deux valeurs mais en l’associant à une valeur unique \(a.\) C’est le nombre dérivé de \(f\) en \(a\) (il faut bien sûr que la fonction soit définie à cet endroit-ci ; il existe d’autres critères de dérivabilité, voir la page sur la tangente).
Exemple : quel est le nombre dérivé de la fonction \(f :x\mapsto 3x^2 + 2x\) pour \(x = 1\) ?
\(\frac{3(1+h)^2 + 2(1 + h) - (3 + 2)}{h}\)
Développons l'identité remarquable.
\(= \frac{3(1 + 2h + h^2) + 2 + 2h - 5}{h}\)
\(= \frac{3h^2 + 8h}{h}\) \(= \) \(3h + 8\) (après factorisation du numérateur et simplification de la fraction).
À présent, nous pouvons établir la limite, c'est-à-dire remplacer \(h\) par zéro. On trouve le nombre dérivé qui est 8. Nous ne pouvions pas le faire auparavant puisque nous aurions dû diviser par zéro, ce qui est impossible.
En page d'exercices sur le nombre dérivé, vous pourrez vous entraîner en terrain difficile.
Le nombre dérivé est un nombre réel qui « résume » une augmentation ou une diminution pour une valeur donnée. Supposons que l’on reporte la vitesse d’une voiture durant une certaine période (\(x\) est un instant et \(f(x)\) est une vitesse), alors le nombre dérivé de la valeur \(a\) prise par \(x\) mesure L’ACCÉLÉRATION à l’instant \(x\) précis.
Illustration graphique
La détermination du taux de variation d’une fonction \(f\) entre deux bornes d’un intervalle revient à tracer une droite qui passe par les deux points de la courbe représentative de \(f\) situés aux bornes de notre intervalle puis à calculer le coefficient directeur de cette droite.
Ci-dessous, pour connaître le taux de variation entre 0 et 2, on relie les deux images de ces valeurs par une droite (la sécante) pour laquelle on calcule le coefficient directeur. Mais ce taux est une indication très grossière sur la fonction car elle ignore la courbure existant entre les deux points d’intersection.
L’idée est donc de pouvoir suivre, pour chaque point de la courbe, un taux de variation réduit à un nombre dérivé. Du coup, il existe une infinité de droites puisque la courbe comprend une infinité de points !
Chacune de ces droites n’a donc qu’un point de commun avec la courbe et non deux (du moins au voisinage du point car selon la configuration de la courbe, il peut y avoir des croisements un peu plus loin). Exemple :
Pour l’abscisse -2, la droite qui n’a qu’un point de contact \(A\) avec la courbe est tracée en bleu (elle recoupe la courbe plus loin mais ça n’a aucune importance). Cette droite est appelée tangente à la courbe au point \(A.\) Son coefficient directeur est le nombre dérivé de -2 (en l’occurrence, il s’agit de -0,2).
Note : le calcul du nombre dérivé vous a paru un peu compliqué ? Pas de panique car on vous enseignera ensuite une méthode plus simple : dériver toute la fonction puis déterminer quelle valeur prend la fonction dérivée en \(a.\) Sinon, votre calculatrice peut vous restituer un nombre dérivé sans calcul (voir la page sur la dérivée d'un produit de fonctions).
