La tangente est une notion d’analyse apprise en classe de première. Graphiquement, c’est la droite qui « effleure » la courbe représentative d’une fonction en un point, du moins lorsque c’est possible. C’est-à-dire qu’elle ne traverse pas la courbe au voisinage de ce point mais, en le frôlant avec toute la délicatesse qu’on lui connaît, elle constitue ici une approximation affine de la fonction : si l'on zoome sur une portion infinitésimale de la courbe, on observe une DROITE (tout comme on ne remarque pas la courbure du globe terrestre en observant quelques mètres de terrain). Mathématiquement, c’est comme si un point a une direction, bien qu’il soit infiniment petit, et que cette direction est amplifiée par une droite.

Le taux de variation

On l'appelle parfois « taux de croissance » mais je réserve ce terme à une définition différente (voir page indices simples). Ce taux mesure la variation relative entre deux grandeurs. Ce peut être un taux d'évolution entre deux dates. Mathématiquement, c'est l'écart entre deux valeurs prises par une fonction rapporté à l'écart qui existe entre leurs deux antécédents.

Donc, ici, a et x correspondent à deux abscisses du plan. Il est équivalent de raisonner directement avec l'écart entre a et x, que l'on nomme h (ou Δx) :

Pourquoi évoquer ces notions ici ? Parce que la définition de la dérivée en un point a fait intervenir le taux de variation. C'est la limite de celui-ci lorsque h tend vers zéro.

Cette définition peut sembler compliquée car en pratique, on dérive la fonction puis on remplace x par a sauf s'il faut s'assurer que la fonction est bien dérivable en a. Dans ce cas, Il ne suffit pas de calculer f’(a) : on doit vérifier que son taux de variation admet une limite finie en a, qui est le nombre dérivé de f en a, c'est-à-dire f’(a). En effet, si une fonction dérivable en un point est forcément continue sur ce point, l’inverse n’est pas toujours vrai (points « anguleux »). L’exemple habituellement donné est celui de la fonction f(x) = |x|. La limite de [(f(x) – f(0)] / (x – 0) est égale à 1 sur 0⁺ et à -1 sur 0^-. La fonction n’est donc pas dérivable en 0 mais elle l’est à droite et à gauche.

Exemple : quelle est la dérivée de f(x) = 3x² + 2x au point 1 ?

Si h tend vers 0, f'(1) = 8. Bien sûr, en pratique, on dérive la fonction : f'(x) = 6x + 2 et l'on obtient f'(1) = 8.

La tangente

Je ne peux décemment pas passer à côté de la formule : au point d’abscisse a, l’expression de la tangente est y = f’(a)(x – a) + f(a).

Et voici le fameux lien qui existe entre la dérivée en un réel et la tangente... f’(a) (se lit « f prime de a ») est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a. Quant au « + f(a) » de la formule, il permet bien sûr de positionner la tangente au bon endroit.

Donc, plus la dérivée en un point est élevée, plus la courbe représentative de la fonction montre, à cet endroit-ci, une pente raide. Les points dont la dérivée est négative se situent sur des intervalles de décroissance de la courbe. Là où la dérivée est nulle, la tangente est horizontale puisqu'elle n'a pas de coefficient directeur. Graphiquement, il s'agit souvent d'un extremum.

Il arrive qu’une tangente traverse une courbe au voisinage d'un point qu'on nomme alors point d'inflexion (par exemple la fonction cube, au point d’origine). La dérivée seconde y est nulle. Une tangente peut aussi être verticale.

Passons à une rapide illustration avant de dévoiler d’autres mystères tangentiels. Prenons la fonction logarithme népérien. Quelle est l’équation de sa tangente au point d’abscisse 1 ?

Réponse : f(1) = ln 1 = 0, f’(x) = 1 / x donc f’(1) = 1. Ainsi, y = 1(x – 1) + 0 = x – 1

Et la tangente de la fonction exponentielle au point d’abscisse 0 ?

f(0) = 1 et f’(0) = 1. Ainsi, y = 1(x – 0) + 1 = x + 1.

Voir aussi la page fonction inverse.

Pour savoir où se situe la tangente par rapport à la courbe, il suffit de calculer la différence entre l’expression de la fonction et l’équation de sa tangente au point concerné, comme on le ferait pour situer une asymptote. Si la différence est positive, la courbe est au-dessus. Lorsqu’elle est toujours dessus, comme par exemple f(x) = x², la fonction est convexe. Si elle est toujours sous ses tangentes, elle est concave (on visualise la convexité en se situant en HAUT du graphique).

Normale

La normale d’une courbe en un point est la droite perpendiculaire à la tangente. Sa pente est égale à (-1 / a).

Demi-tangentes

On observe éventuellement des demi-tangentes, par exemple aux bornes d’un domaine de définition ou sur un point anguleux. Le graphe ci-dessous représente la fonction (x – 2)^2/3 + 2 (réalisation Geogebra).

Complément

Et au fait, pourquoi nomme-t-on ainsi une TANGENTE ?

À moins d’être horizontale, une tangente forme un angle avec l’axe des abscisses. À partir du cercle trigonométrique, on lit la valeur de cet angle sur la droite de tangence qui frôle le cercle au point (1 ; 0). Prenons par exemple un angle de 45°. Sur un repère orthonormé, il correspond à un coefficient directeur de 1. En radian, cet angle a pour valeur π / 4. Appliquons la fonction tangente à cette valeur : tan (π / 4) = 1.