Une initiation à la convexité

Convexité et point d'inflexion

Cette page est principalement destinée aux élèves de terminale générale. Elle ne s’appuie que sur des fonctions très simples. Vous en compléterez la lecture par celle de la page sur la convexité, plus approfondie.

collines

 

Définitions

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et \({\mathscr{C}_f}\) sa courbe représentative. Si pour tous les points distincts \(A\) et \(B\) de \({\mathscr{C}_f}\) le segment \([AB]\) est au-dessus de \({\mathscr{C}_f},\) alors \(f\) est convexe sur \(I.\) Inversement, si \([AB]\) est au-dessous de \({\mathscr{C}_f},\) \(f\) est concave sur \(I.\)

 

Visualisons

La courbe ci-dessous montre que sur l’intervalle \(a[-2\,;-1]\) la fonction est convexe tandis qu’elle est concave sur \(b[1\,;2]\) (réalisation GeoGebra).

convexe et concave

 

Propriété

\(f\) est convexe si et seulement si pour tous les réels \(x_1\) et \(x_2\) de \(I,\) on a :

\[f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \leqslant \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\]

C’est d’ailleurs assez évident. Le milieu du segment (second membre de l'inégalité) se situe au-dessus de la courbe. Et inversement là où \(f\) est concave.

 

Dérivabilité

\(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si sa dérivée \(f'\) est croissante sur \(I,\) donc si sa dérivée seconde \(f''\) est positive sur \(I.\) Inversement, \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si \(f’’ \leqslant 0\) sur \(I.\) En pratique, c’est ainsi que l’on détermine la convexité d’une fonction dont on connaît l'expression.

 

Tangentes

\(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \({\mathscr{C}_f}\) est entièrement au-dessus de toutes ses tangentes. Inversement, \(f\) est concave si \({\mathscr{C}_f}\) est au-dessous de ses tangentes.

Illustration : la fonction carré est convexe sur \(\mathbb{R}.\) Toutes les tangentes à sa courbe se situent au-dessous de celle-ci.

fonction carré

 

Exemple

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = \frac{x^2 + x + 2}{x^2 + 2}\]

Montrons qu’il existe un point d’inflexion au point d’abscisse 0 avec la technique de la tangente. Pour cela, il faut d’abord dériver \(f\) (le cas échéant, revoir le mode d’emploi en page dérivée d’un quotient de fonctions).

\[f'(x) = \frac{-x^2 + 2}{(x^2 + 2)^2}\]

L’équation de la tangente en 0 est si simple qu’elle peut être déterminée mentalement. Elle est de la forme \(y = f(0) + xf’(0),\) soit \(y = 0,5x + 1.\) Soustrayons cette équation à celle de \(f\) et nommons \(g\) la fonction obtenue.

\(g(x)\) \(=\) \(\frac{x^2 + x + 2}{x^2 + 2} - 0,5x - 1\)

En plaçant tout sur le même dénominateur puis en développant, nous obtenons, après réduction, \(g(x) = \frac{- 0,5x^3}{x^2 + 2}.\)

Nous remarquons aussitôt que le signe de \(g\) est celui de son numérateur. Cette fonction est positive sur \(\mathbb{R}_-,\) négative sur \(\mathbb{R}_+\) et nulle sur 0. Par conséquent, la courbe représentative de la fonction est au-dessus de la tangente pour tout \(x < 0\) (puisque l’écart est positif) et inversement pour tout \(x > 0.\) Nous en concluons que la tangente traverse la courbe au point d’abscisse 0 (cette astuce qui consiste à étudier le signe d’une différence de fonctions revient souvent dans les exercices, voir la page positions relatives de courbes). Voir aussi l'exercice sur tangentes, de niveau première.

 

Point d’inflexion

S’il existe un point \(A\) de \({\mathscr{C}_f}\) tel que la tangente à la courbe en \(A\) traverse \({\mathscr{C}_f}\) en \(A,\) alors \(A\) est un point d’inflexion.

Si \(f’\) change de sens de variation en \(x_0,\) alors \({\mathscr{C}_f}\) admet un point d’inflexion au point d’abscisse \(x_0.\) On en déduit que \(f’’(x_0) = 0\) et que la convexité de \(f\) change en \(x_0.\) Une illustration graphique se trouve en page d'inégalité de la tangente.

 

Exemple (suite)

Reprenons la fonction \(f\) que nous venons de quitter, vérifions l’existence du point d’inflexion grâce à la dérivée seconde et voyons si la courbe en admet d’autres. Sur quel(s) intervalle(s) est-elle strictement convexe ?

\[f''(x) = \frac{2x(x^2 - 6)}{(x^2 + 2)^3}\]

Déterminons les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f’’\) s’annule. Le dénominateur est strictement positif. Il reste :

signe de f''(x)

\(f\) est strictement convexe sur \(]-\sqrt{6}\,;0[\) \(\cup\) \(]\sqrt{6}\,;+\infty[.\)

Bien compris ? Pour en être sûr, vous avez à votre disposition des exercices pas trop difficiles en page d'exercice sur la convexité et en page d'exponentielle et convexité.

 

chameau