La dérivée d'un quotient de fonctions

Exercices de dérivées de type (u / v)

Le niveau de difficulté de cette page est celui d’une classe de première générale ou de terminale STMG. Il s’agit d’exercices classiques de dérivation de fonctions rationnelles et d’une démonstration très simple qu’un élève de première doit pouvoir reproduire sans se prendre la tête.

 

Au préalable

Rappel de la formule de dérivation. Soit les fonctions dérivables \(u\) et \(v\) avec \(v(x) \ne 0,\) la fonction \(f\) étant leur quotient. Alors \(f\) est dérivable.

Si \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) alors \(f'(x)\) \(= \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}\)

Bien sûr, si \(u(x) = 1,\) la dérivée prend une forme plus simple : \(-\frac{u'(x)}{u(x)^2}.\) Et si \(v(x) = x,\) c'est-à-dire si l'on dérive la fonction inverse, on obtient \(-\frac{1}{x^2}.\)

 

Exercice 1

Dériver la fonction homographique \(f\) là où elle est dérivable, c'est-à-dire sur \(\mathbb{R}\) \(\backslash \{-4\}\)

\[f(x) = \frac{2x - 3}{x + 4}\]

 

Exercice 2

Dériver la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R} \backslash \{\frac{1}{3}\}\) :

\[g(x) = \frac{x^2 + 2x - 4}{3x - 1}\]

 

Exercice 3

Soit la fonction \(h\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R} \backslash \{-1\}.\) Déterminer son ou ses extremum(s) éventuel(s).

\[h(x) = \frac{x^2 - x - 1}{x + 1}\]

 

Exercice 4 (première générale)

Démontrer la formule de dérivation de \(\frac{u(x)}{v(x)}\)

 

Exercice 5 (bac ES)

Voir la page exercice sur la convexité, question 1.

Vous avez trouvé ? Bravo. Sinon, voici des éléments de correction qui vous aideront à faire mieux la prochaine fois !

 

Corrigé 1

Nous avons \(u(x) = 2x - 3\) et donc \(u’(x) = 2,\) \(v(x) = x + 4\) et \(v’(x) = 1\)

\(f'(x)\) \(=\frac{2(x + 4) - (2x - 3)}{(x + 4)^2}\) \(= \frac{11}{(x + 4)^2}\)

Surtout ne pas oublier les parenthèses au numérateur et bien noter que le dénominateur ne doit pas être développé.

Remarquez au passage que \(f\) n’admet pas d’extremum (\(f’\) ne s’annule jamais).

 

Corrigé 2

Nous avons \(u(x) = x^2 + 2x - 4\) et \(u’(x) = 2x + 2,\) \(v(x) = 3x - 1\) et \(v’(x) = 3\)

\[g'(x) = \frac{(2x + 2)(3x - 1) - 3(x^2 + 2x - 4)}{(3x - 1)^2}\]

Développons le numérateur.

\(g'(x)\) \(= \frac{6x^2 - 2x + 6x - 2 - 3x^2 - 6x + 12}{(3x - 1)^2}\)

\(\Leftrightarrow g'(x)\) \(= \frac{3x^2 - 2x + 10}{(3x - 1)^2}\)

Lorsque c’est possible, il est préférable de factoriser le numérateur, ce qui permet d’étudier le signe de la dérivée. Ici, le calcul du discriminant conduit à un résultat négatif (\(Δ = -116\)) et notre beau projet de factorisation tombe à l’eau. Mais l’entreprise était inutile puisque nous savons que \(g’\) est positive sur son ensemble de définition.

 

Corrigé 3

Pour connaître le(s) extremum(s), il convient d’annuler la dérivée. Donc, bien sûr, commencer par déterminer cette dernière…

\(u(x) = x^2 - x - 1,\) \(u’(x) = 2x - 1,\) \(v(x) = x + 1,\) \(v’(x) = 1\)

\(h'(x)\) \(= \frac{(2x- 1)(x + 1) - (x^2 - x - 1)}{(x+ 1)^2}\)

Comme d’habitude, développons.

\(h'(x)\) \(= \frac{2x^2 + 2x - x - 1 - x^2 + x + 1}{(x + 1)^2}\) \(= \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}\) \(= \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}\)

La suite de la procédure est l’équation \(h’(x) = 0.\) Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul. Il s’ensuit…

\(x(x + 2) = 0\) \(\Leftrightarrow x = 0\) ou \(x = -2\)

\(S = \{-2\,; 0\}\)

 

Corrigé 4

Rappels : la dérivée d’un produit de deux fonctions \(u(x) \times v(x)\) est \((u’(x)v(x) + u(x)v’(x)\)\) et la dérivée d’une inverse de \(v(x)\) est \(-\frac{v'(x)}{v(x)^2}\) dans la mesure où \(v(x)\) n'est pas nul.

Un quotient \(\frac{u(x)}{v(x)}\) peut s'écrire \(u(x) \times \frac{1}{v(x)}.\) Donc la dérivée de ce produit de fonctions s'écrit sous la forme \(f'(x)\) \(= u'(x) \times \frac{1}{v(x)} + u(x) \times (- \frac{v'(x)}{v(x)^2})\)

Développons. Pour la commodité de lecture, nous ne préciserons plus que ce sont des fonctions de \(x.\)

\(\frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^2}\) \(= \frac{uv'}{v^2} - \frac{uv'}{v^2}\) \(= \frac{u'v - uv'}{v^2}\)

Youpi.

 

(u/v)'