Positions relatives de deux ou plusieurs courbes
En classe de première générale, on s’interroge régulièrement à propos d’une énigme que le programme de maths nous permet de résoudre : placé en présence de deux fonctions, il s’agit de deviner laquelle de leurs courbes représentatives est située au-dessus de l’autre.
Le principe est heureusement fort simple. C’est pourquoi cette page traite essentiellement de cette partie du programme sous forme d’exercices.
Rappel de cours
La fonction \(f\) est supérieure à la fonction \(g\) (on écrit \(f \geqslant g\)) sur l’intervalle \(I\) lorsque pour tout réel \(x\) de \(I,\) \(f(x) \geqslant g(x).\) La courbe \(\mathscr{C}_f\) représentative de \(f\) est dans ce cas au-dessus de \(\mathscr{C}_g.\)
Et comme vous l’avez deviné, lorsque \(f\) est inférieure à \(g\) c’est \(\mathscr{C}_f\) qui est au-dessous de \(\mathscr{C}_g.\)
Enfin, les courbes repréentatives sont confondues lorsque \(f\) et \(g\) sont égales (voir la page intersections de courbes).
Exemple
Soit la fonction linéaire \(f:x \mapsto x\) (repréentée par la droite bleue), la fonction carré \(g\) (courbe verte), la fonction racine carrée \(h\) (courbe rouge) et la fonction inverse \(i\) (en violet). Réalisation avec WxGéométrie (devenu Géophar).
Les courbes sont confondues pour \(x = 1.\) Sur l’intervalle \(]0\,; 1[\) nous avons \(g < f < h < i\) tandis que sur \(]1\,; +∞[,\) \(i < h < f < g.\)
Savoir-faire
La plupart du temps, le principe consiste à étudier le signe d’une troisième fonction obtenue par différence. Mais certains exercices ont aussi pour objet la comparaison d’un nombre, de sa racine et de son carré. Il convient alors de se référer à l’exemple ci-dessus, c’est-à-dire que le classement différera selon que ces nombres sont compris entre 0 et 1 ou s’ils sont supérieurs à 1 (Cf. exercice 2 ci-dessous). Voir aussi la page d'exercices sur positions relatives de courbes.
Exercice 1
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 - 2x - 5\) et \(g(x) = -x - 3.\) Étudier les positions respectives de leurs courbes représentatives.
Exercice 2
Soit \(X = 9 - 4\sqrt{2}\)
- Calculer \((2\sqrt{2} - 1)^2\) et en déduire \(\sqrt{X}\)
- Calculer \(X^2.\)
- Comparer les réels \((2\sqrt{2} - 1),\) \((9 - 4\sqrt{2})\) et \((113 - 72\sqrt{2})\)
Corrigé 1
Soit \(h(x) = f(x) - g(x)\)
\(\Leftrightarrow h(x) = x^2 - 2x - 5 + x + 3\)
\(\Leftrightarrow h(x) =x^2 - x - 2\)
\(h\) est une fonction du second degré. Calculons son discriminant \(\Delta\) afin de déterminer son signe. Il suffit d’appliquer les formules bien connues avec \(a = 1,\) \(b = -1\) et \(c = -2.\)
\(Δ = (-1)^2 - [4 × 1 × (-2)] = 9 = 3^2\)
\(Δ\) étant strictement positif, le trinôme admet deux racines qui sont \(x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1\) et \(x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2.\)
Le signe de la fonction est du signe de \(a,\) c’est-à-dire positif de part et d’autre des racines mais du signe contraire (donc négatif) entre ces racines.
Comme on a déterminé \(h\) en ôtant l’expression de \(g\) à celle de \(f,\) cela signifie que si \(h\) est positive, c’est que \(f \geqslant g\) et inversement si \(h\) est négative. Cela doit vous paraître parfaitement logique !
Par conséquent \(\mathscr{C}_f\) est confondue avec \(\mathscr{C}_g\) pour \(x = -1\) et \(x = 2,\) elle est située au-dessous sur \(]-1\,; 2[\) et au-dessus partout ailleurs.
Corrigé 2
1. \((2\sqrt{2} - 1)^2 = 9 - 4\sqrt{2}\)
Il s’ensuit que \(X = 2\sqrt{2} - 1\)
2. Pour déterminer \(X^2\) développons l’identité remarquable.
\(X^2 = (9 - 4\sqrt{2})^2\)
\(\Leftrightarrow X^2 = 81 - (9 \times 4 \times 2\sqrt{2}) + (16 \times 2)\)
\(\Leftrightarrow X^2 = 113 - 72\sqrt{2}\)
3. Il s’agit de comparer un nombre, son carré et sa racine carrée. Comme \(X > 1\) l’ordre est le suivant :
\(2\sqrt{2} - 1 < 9 - 4\sqrt{2} < 113 - 72\sqrt{2}\)
