Un exercice sur la fonction inverse

Fonction inverse et tangentes

Voici un exercice classique sur la fonction inverse et sur les tangentes, de niveau première générale. Classique car il illustre des propriétés intéressantes. Il est entièrement paramétré, c’est-à-dire que vous trouverez un paramètre \(a\) pouvant représenter n’importe quel réel non nul.

Après avoir réalisé cet exercice, nous vous invitons à le remplacer par une valeur de votre choix puis à tracer la courbe représentative et les droites avec un logiciel ou sur calculatrice afin de visualiser les propriétés ainsi découvertes.

Note : il existe sur ce site d'autres exercices sur les tangentes.

 

Énoncé

Soit \(f\) la fonction inverse, définie sur \(\mathbb{R}^*.\) Donc \(f(x) = \frac{1}{x}.\)

Soit \({\mathscr{C}_f}\) sa courbe représentative et \(T_a\) la tangente à \({\mathscr{C}_f}\) au point \(A\) d’abscisse \(a\) avec \(a \ne 0\).

  1. Déterminer l’équation de \(T_a\)
  2. Déterminer les coordonnées du point \(P,\) intersection de \(T_a\) avec l’axe des abscisses.
  3. Déterminer les coordonnées du point \(Q,\) intersection de \(T_a\) avec l’axe des ordonnées.
  4. Démontrer que le point \(A\) est le milieu du segment \([PQ].\)
  5. Soit \((D)\) la droite d’équation \(y = x.\) Donner les coordonnées du point \(B,\) intersection de \((D)\) et de \(T_a.\)
  6. Déterminer l’équation de la tangente \(T'_a\) au point d’abscisse \(\frac{1}{a}.\)
  7. Montrer que \((D),\) \(T_a\) et \(T'_a\) sont concourantes.

exercice

 

Corrigé

1- L’équation d’une tangente à un point d’abscisse \(a\) est \(y = f(a)(x - a) + f(a).\)

Nous avons bien sûr : \(f(a) = \frac{1}{a}\)

Quant au nombre dérivé en \(a\) : \(f'(a) = -\frac{1}{a^2}\)

Donc :

\(y = -\frac{1}{a^2}(x - a) + \frac{1}{a}\)
\(\Leftrightarrow y = - \frac{x}{a^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a}\)
\(\Leftrightarrow y = - \frac{1}{a^2}x + \frac{2}{a}\)

2- Pour trouver l’abscisse de \(P,\) on résout l’équation :

\(- \frac{1}{a^2}x + \frac{2}{a} = 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{x}{a^2} = \frac{2}{a}\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{2}{a} \times a^2\)

D’où \(x = 2a\) et par conséquent \(P(2a\,;0).\)

3- Il suffit de remplacer \(x\) par zéro pour obtenir l’ordonnée de \(Q.\) Donc \(Q(0\,;\frac{2}{a}).\)

4- Rappel de la formule du milieu de \([PQ]\) :

\[M\left(\frac{x_p + x_Q}{2}\,; \frac{y_P + y_Q}{2}\right)\]

Abscisse :

\[\frac{x_P + x_Q}{2} = \frac{2a + 0}{2} = a\]

Ordonnée :

\[\frac{y_P + y_Q}{2} = \frac{0 + \frac{2}{a}}{2} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a}\]

Nous vérifions bien les coordonnées de \(P(a\,; \frac{1}{a}).\)

5- Au point d’intersection, les expressions des deux droites sont égales.

\(x = -\frac{1}{a^2}x + \frac{2}{a}\)
\(\Leftrightarrow x + \frac{1}{a^2}x = \frac{2}{a}\)
\(\Leftrightarrow x \left(1 + \frac{1}{a^2}\right) = \frac{2}{a}\)
\(\Leftrightarrow x\left(\frac{a^2 + 1}{a^2}\right) = \frac{2}{a}\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{2}{a} \times \frac{a^2}{a^2 + 1}\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{2a}{a^2 + 1}\)

Comme \(B\) est sur la droite d’équation \(y = x,\) ses coordonnées sont :

\[B\left(\frac{2a}{a^2 + 1}\,; \frac{2a}{a^2 + 1}\right)\]

6- Nous avons \(f(\frac{1}{a}) = a.\) Quant au nombre dérivé…

\[f'(\frac{1}{a}) = - \frac{1}{(\frac{1}{a})^2}=-a^2\]

Donc \(y = -a^2(x - \frac{1}{a}) + a\)

Soit, après simplification, \(y = -a^2x + 2a.\)

7- Ces trois droites sont concourantes, c’est-à-dire sécantes en même point, si le point \(B\) appartient à \(T'_a.\) Remplaçons \(y\) dans l’expression de \(T'_a\) par l’ordonnée de \(B.\)

\(\frac{2a}{a^2 + 1} = -a^2x + 2a\)
\(\Leftrightarrow \frac{2}{a^2 + 1} = -ax + 2\)
\(\Leftrightarrow -2 + \frac{2}{a^2 + 1} = -ax\)
\(\Leftrightarrow \frac{2 - 2(a^2 + 1)}{a^2 + 1} = -ax\)
\(\Leftrightarrow \frac{-2a^2}{a^2 + 1} = -ax\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{2a}{a^2 + 1}\)

C’est bien l’ordonnée du point \(B.\) Les trois droites sont concourantes en \(B.\)

Exemple avec \(a = 2\) à l'aide de GeoGebra.

représentation graphique

 

aphorisme