Les fonctions trigonométriques

Fonctions circulaires directes

Voici un petit mémo sur les fonctions sinus, cosinus et tangente. En latin, sinus signifie courbé, d'où le mot « sein ». Vous jugerez vous-même si les fonctions trigonométriques ont plus de charme que les autres...

Précision si vous êtes en première générale ou en terminale S : considérez cette page comme une ressource pour votre programme de maths mais seulement jusqu'à la fonction tangente (exclue).

 

Fonctions et cercle

Si l’on fait le rapprochement avec le cercle trigonométrique, on devine que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, de période \(2\pi.\) Rappelons ici le cercle dans un repère \((O\,; I ,J)\) afin de mieux mémoriser le lien avec les fonctions.

cercle trigonométrique

 

La fonction sinus

C’est une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), continue et impaire. Sa dérivée est \(\cos(x).\) Une primitive est \(-\cos(x).\) Rappelons qu'une fonction \(f\) est impaire lorsque pour tout \(x\) appartenant à son ensemble de définition \(f(-x) = -f(x).\)

Points remarquables : \(\sin(0) = 0.\) On le lit sur le cercle. Si l’angle est nul, \(M = I\) et donc le sinus, en ordonnée, est égal à zéro. Déplaçons le rayon dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d’une montre). Si \(M = J,\) cela signifie que la mesure de l'angle est \(\frac{\pi}{2}\) et l'on remarque que \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1.\) Continuons à déplacer le rayon et notons que \(\sin(\pi) = 0\) puis que \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1.\) Si l’on fait un tour complet, on voit que \(\sin(2\pi) =0.\)

Par conséquent, ses valeurs sont toujours comprises entre -1 et 1 et \(\sin(x) = \sin(x + 2\pi).\) Il s'ensuit que son ensemble d'étude peut se réduire à l'intervalle \(\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]\) et qu'à l'infini, elle n'admet pas de limite...

tableau de variation

Illustration :

fonction sinus

Ce type de fonction est appelé, devinez pourquoi, une sinusoïdale (ou sinusoïde).

Voir les pages d'exercices sur la parité (niveau première) et d'exercices avec fonction sinus (niveau terminale)

 

La fonction cosinus

C’est une fonction paire, c'est à dire que \(f(x) = f(-x).\) Comme la fonction sinus, elle est définie, continue et dérivable sur \(\mathbb{R}.\) Elle est également bornée, sa période est la même et elle n'admet pas non plus de limite à l'infini. Sa dérivée est \(-\sin(x)\) et une primitive est \(\sin(x).\)  Nous vous laissons le soin de faire le lien avec le cercle trigonométrique et d'imaginer le tableau de variation...

fonction cosinus

 

La fonction tangente

Rappelons que \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}.\) Donc, la fonction n’est pas continue sur \(\mathbb{R}\) puisqu’elle n’est pas définie chaque fois que \(\cos(x) = 0.\) En revanche, elle part à l’infini lorsque \(\sin(x) = 0.\) D’où la représentation graphique à l'aspect bizarre d'un plan repéré rageusement rayé…

Il s’agit d’une fonction impaire définie lorsque \(x\) est différent de \(\frac{\pi}{2} + k\pi\) (\(k\) étant un entier relatif) et dont la dérivée s’écrit \(1 + \tan^2(x).\)

D'ailleurs, sachant que \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1,\) il est facile de montrer que cette dérivée peut s'écrire de plusieurs façons :

\(1 + \tan^2(x)\) \(= 1 +\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\) \(= \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}\) \(= \frac{1}{\cos^2(x)}\)

fonction tangente

 

Prolongements

Notez que toutes ces fonctions sont tantôt convexes tantôt concaves selon les intervalles.

Leurs développements limités au voisinage de zéro figurent en page développement limité de Mc Laurin.

D'autres fonctions issues plus ou moins directement des sinus et cosinus, comme par exemple les fonctions sécante et cosécante, font l'objet de la page autres fonctions trigonométriques.

Enfin, les fonctions sinus, cosinus et tangente admettent des réciproques sur certains intervalles. Ce sont les fonctions trigonométriques réciproques arc-sinus, arc-cosinus et arc-tangente.

Voir également les pages exercices de dérivation de fonctions trigonométriques et intégrales de Wallis.

 

gnafron