Dérivation de fonctions de référence et composées
Après de brefs rappels de cours, cette page vous propose quelques exercices simples de dérivation de quelques fonctions de référence. Elle s’adresse aux élèves de première générale et surtout des premières technologiques STI2D et STL. Au programme de celles-ci, les fonctions trigonométriques sont étudiées avec les autres (puissance et inverse) tandis qu’en filière générale les dérivées de fonctions trigonométriques ne sont pas enseignées dans le même chapitre. D’où le plan de cette page.
Notation différentielle (filières technologiques)
Si une grandeur \(y\) dépend d’une grandeur \(x\) et si, lorsque \(x\) subit une variation \(Δ x\) autour d’une valeur \(x_0,\) \(y\) subit une variation \(Δ y,\) alors le rapport \(\frac{\Delta y}{Δ x}\) tend vers le nombre dérivé \(f’(x)\) lorsque \(x\) tend vers 0.
En physique, on utilise la notation différentielle :
\[{\left( {\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}} \right)_{{x_0}}}\]
Le nombre dérivé peut aussi s’écrire \(\frac{df}{dx}(x_0)\) ou \(\frac{dy}{dx}(x_0).\)
Sur ce site web ces notations ne sont pas employées.
Fonctions puissance et inverse
La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^n\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sa dérivée est \(f’(x) = nx^{n-1}\)
La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = \frac{1}{x}\) est dérivable sur son ensemble de définition et sa dérivée est \(f’(x) = - \frac{1}{x^2}.\)
Exercices :
1- Dériver les fonctions suivantes sur \(\mathbb{R}\) :
\(f(x) = x^2 + 6x\)
\(g(x) = \frac{3x + 9}{2}\)
\(h(x) = \frac{1}{4}x^4 + 2x^3 - x^2 + x +10\)
2- Dériver la fonction suivante sur \(\mathbb{R}^*\) :
\(f(x) = - \frac{2}{x}\)
3- Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = \frac{1}{x}\) et \(\mathscr{C}\) sa courbe représentative dans un repère. Calculer \(f’(-2)\) et interpréter graphiquement le résultat.
Corrigé
1 - \(f\) est une fonction du second degré. Aucune difficulté. \(f’(x) = 2x + 6.\)
\(g\) est une fonction affine (attention à ne pas se laisser abuser par la fraction, \(x\) est au numérateur). On peut d’ailleurs réécrire \(g(x) = \frac{3}{2}x + \frac{9}{2}.\)
Par conséquent, \(g’(x) = \frac{3}{2}.\)
\(h’(x) = 4 × \frac{1}{4} x^3 + 3 × 2x^2 - 2x + 1\) (ne pas oublier que la dérivée de \(x\) est 1).
Donc \(h’(x) = x^3 + 6x^2 - 2x + 1.\)
2 - \(f\) est la fonction inverse multipliée par -2.
Donc \(f’(x) = \frac{2}{x^2}\) (attention au signe).
3- On calcule d’abord la dérivée, \(f’(x) = - \frac{1}{x^2}\) puis on remplace \(x\) : \(f’(-2) = - \frac{1}{(-2)^2} = - \frac{1}{4}.\)
Graphiquement, la courbe \(\mathscr{C}\) admet au point d’abscisse -2 une tangente dont le coefficient directeur est \(- \frac{1}{4}.\)
Fonctions composées de fonctions affines
En filière générale, les dérivées de fonctions composées de type \(x ↦ f(ax + b)\) sont abordées en fin de chapitre.
Soit \(a\) et\(b\) deux réels et soit une fonction \(g\) définie par \(f(ax + b).\) Sa dérivée s’écrit \(g’(x) = a × f’(ax + b).\)
Soit par exemple la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (7x + 1)^6\)
Vous remarquez que \(f\) est une composée d’une fonction affine et d’une fonction puissance. Si la fonction était égale à \(x^6\) sa dérivée aurait pour expression \(6x^5.\) On applique ce modèle à \(7x + 1\) et l’on multiplie le tout par \(a\) c’est-à-dire 7.
\(f’(x) = 7 × 6(7x + 1)^5 = 42(7x + 1)^5\)
Exercice :
Dériver la fonction \(f\) définie sur \(]\frac{2}{5}\, ; +∞[\) par \(f(x) = \frac{1}{2 - 5x}\)
Corrigé :
\(f’(x) = -5 × - \frac{1}{(2 - 5x)^2} = \frac{5}{(2 - 5x)^2}\)
Fonctions trigonométriques
Les fonctions sinus et cosinus sont définies et dérivables sur \(\mathbb{R}.\)
La fonction \(f\) définie par \(f(x) = \sin x\) a pour dérivée \(f’(x) = \cos x\) et la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \cos x\) a pour dérivée \(f’(x) = - \sin x.\)
Exercice :
Dériver les fonctions suivantes sur \(\mathbb{R}\) :
\(f(x) = - \cos x + 2\)
\(g(x) = 2 \sin x\)
Corrigé :
\(f’(x) = \sin x\)
\(g’(x) = 2 \cos x\)
Fonctions trigonométriques composées (premières technologiques)
En filière générale, les dérivées de fonctions trigonométriques composées sont plutôt vues en terminale. La notation ci-dessous, adaptée à la physique, est employée dans les filières technologiques.
La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(t) = A \sin (ω t + ϕ)\) a pour dérivée \(f’(t) = A × ω \cos (ω t + ϕ ).\)
La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(t) = A \cos (ω t + ϕ)\) a pour dérivée \(f’(t) = -A × ω \sin (ω t + ϕ ).\)
Par exemple, si \(f(t) = \sin(2t + π)\) nous obtenons \(f(t) = 2 \cos(2t + π).\)
