Trois exercices avec fonction sinus

Exercices avec fonctions composées de la fonction sinus

Trois exercices de niveau terminale S à partir de la fonction sinus

 

Exercices

Exercice 1

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = |\sin(x)|\)

1- Étudier la parité de \(f.\)

2- Montrer que \(f\) est π-périodique.

3- Tracer la représentation graphique de \(f.\)

Exercice 2

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\)

\[f:x \mapsto 3\sin \left( {4x + \frac{\pi }{6}} \right)\]

1- Démontrer que \(f\) est périodique de période \(\frac{\pi}{2}.\)

2- Calculer \(f',\) dérivée de \(f.\)

3- Étudier le signe de \(f’\) et les variations de \(f\) sur l'intervalle \(\left[ {0\,;\frac{\pi }{2}} \right].\)

Exercice 3

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3\sin(x) - 2x.\)

Calculer \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{x}\) sachant que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (x)}}{x} = 1.\)

 

Corrigés

Corrigé 1

1- \(f(-x) = |\sin(-x)|\) \(= |-\sin(x)|\) pour tout réel \(x\) car la fonction sinus est impaire.

Par propriété de la valeur absolue, \(|-\sin(x)| = |\sin(x)|.\)

Donc \(f(-x) = f(x).\) La fonction \(f\) est paire.

2- Pour tout réel \(x,\) \(f(x + \pi)\) \(= |\sin(x + \pi)| = |-\sin(x)|\) par propriété de la fonction sinus.

\(|-\sin(x)| = |\sin(x)| = f(x).\)

La fonction \(f\) est π-périodique.

3- Le tracé avec GeoGebra :

courbe

Bravo, vous avez modélisé une puce qui saute.

Corrigé 2

1-

\(f\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = 3\sin\left(4x + \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right)\)
\(= 3\sin\left(4x + 2\pi + \frac{\pi}{6}\right)\)
\(=3\sin\left(4x + \frac{\pi}{6}\right)\)
\(= f(x)\)

2- Rappelons que \([\sin(u(x))]’ = u’(x) \cos(u(x))\).

Donc \(f'(x) = 12\cos\left(4x + \frac{\pi}{6}\right)\)

3- Déterminons pour quelle(s) valeur(s) \(f’\) s’annule. Nous savons que \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\) et \(\cos\left(\frac{-\pi}{2}\right) = 0.\) Nous posons donc :

\(\cos\left(4x+\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\) ou \(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow 4x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) ou \(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi\) (avec \(k \in \mathbb{Z}\))

\(\Leftrightarrow 4x = \frac{2\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(4x = -\frac{4\pi}{6} + 2k\pi\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\) ou \(x = -\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}\)

Sur \(\left[0 \,; \frac{\pi}{2}\right]\) nous avons…

\(x = \frac{\pi}{12}\) ou \(x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3}\)

Nous devons donc étudier le signe de \(f’\) sur trois intervalles. D’abord, sur \(\left[0 \,; \frac{\pi}{12}\right].\) Remarquez qu’il est inutile de nous encombrer du facteur 12 qui ne change rien au signe et encadrons \(x\) :

Si \(0 \leqslantx \leqslant\frac{\pi}{12},\) alors...

\(\frac{\pi}{6} \leqslant4x + \frac{\pi}{6} \leqslant\frac{4\pi}{12} + \frac{\pi}{6}\)

\(\Leftrightarrow \frac{\pi}{6} \leqslant4x + \frac{\pi}{2} \leqslant\frac{\pi}{2}\)

Encadrons à présent le cosinus de notre expression. On connaît les valeurs de \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\) et de \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\) (voir la page introduisant la trigonométrie) :

\(0 \leqslant\cos\left(4x + \frac{\pi}{6}\right) \leqslant\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Nous en concluons que \(f’ \geqslant 0\) sur \(\left[0\,;\frac{\pi}{12}\right]\) et donc que \(f\) est croissante sur cet intervalle.

De même vous pouvez établir que \(f\) est décroissante sur \(\left[\frac{\pi}{12}\,;\frac{\pi}{3}\right]\) puis croissante sur \(\left[\frac{\pi}{3}\,;\frac{\pi}{2}\right].\)

Corrigé 3

\(\frac{f(x)}{x} = \frac{3\sin(x) - 2x}{x}\)

\(\Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = 3\frac{\sin(x)}{x}-2\)

Donc :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{x} = 3 \times 1 - 2\ = 1\)