Cercle trigonométrique et triangle rectangle
Les règles de trigonométrie sont fondamentales en mathématiques appliquées. Elles sont introduites au collège mais ouvrent plus de perspectives à partir de la première générale ou des premières STI2D et STL, lorsque le degré fait place au radian.
Le mot trigonométrie vient du grec. Il signifie mesure des triangles. À partir de la longueur des côtés d'un triangle, on mesure ses angles. On estime que cette branche des mathématiques a été fondée par Hipparque, astronome grec du deuxième siècle av. J.C, mais il est probable qu'il ait juste apporté une contribution, certes majeure, à des connaissances plus anciennes.
Rappels du collège
Une façon d’aborder sinus et cosinus consiste à explorer un triangle rectangle. Voir la page sur la trigonométrie en degrés.
Soit les côtés \(h\) pour hypoténuse, \(o\) pour opposé et \(a\) pour adjacent, on résume ainsi :
Sinus = \(\frac{o}{h}\)
Cosinus = \(\frac{a}{h}\)
Tangente = \(\frac{o}{a}\)
Les rapports inverses ne sont au programme ni au collège ni en première mais mentionnons-les pour mémoire : la cosécante (cosec) \(\frac{h}{o},\) la sécante (sec) \(\frac{h}{a}\) et la cotangente (cotg) \(\frac{a}{o}.\)
Angles
Lorsqu'on mesure un angle en degrés, il n'y a pas de sens. Que l'on aille de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche, la mesure reste la même. Désormais, les angles seront mesurés en radians. Ce terme n'est pas au programme de seconde mais il est indispensable de le connaître puisqu'une calculatrice ne donne pas les mêmes résultats selon qu'elle est en mode degrés ou en mode radians.
En radians, un angle se mesure en sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens trigonométrique ou sens direct. Si vous souhaitez plus de détails, voir la page angles orientés (niveau première).
Le cercle trigonométrique
C’est un cercle de centre \(O\) et de rayon 1 dans un repère orthonormé \((O\,; I\,, J).\) La longueur de tout arc de cercle étant égale au rayon multiplié par l’angle exprimé en radians, cette mesure vaut ici tout simplement la valeur de l’angle puisqu'elle est multipliée par 1.
Soit M un point quelconque du cercle. On lui associe un réel \(\alpha.\)
Le cosinus de \(\alpha\) est l'abscisse de \(M\) et son sinus est l'ordonnée de \(M.\)
Avec l'illustration ci-dessous, vous pouvez faire le lien avec la trigonométrie vue au collège. Deux demi-droites d’origine \(O\) forment un angle \(\alpha\) (ici l’axe des abscisses sur ses valeurs positives et la demi-droite rouge). Cet angle appartient à un triangle rectangle. Au collège, on aurait appelé cet angle \(\widehat{O}.\)
Comme l'hypoténuse \(OM\) vaut 1, le cosinus de \(\alpha\) n'est autre que la longueur du côté adjacent de \(O\) et son sinus est la longueur du côté opposé.
Note : on peut aussi raisonner en termes de vecteurs. À l'intérieur du cercle le vecteur rouge \(OM\) est égal à un vecteur horizontal (le cosinus) plus un vecteur vertical (le sinus). \(\overrightarrow{OM}\) \(=\cos(\alpha)\overrightarrow{OI} + \sin(\alpha)\overrightarrow{OJ}.\)
La demi-droite rouge coupe la droite verticale d'expression \(x = 1\) (en vert) en un point appelé tangente.
Comme le rayon est de 1, la circonférence du cercle trigonométrique est égale à \(2\pi.\) On peut donc ajouter ce nombre autant de fois qu’on le souhaite à un sinus, un cosinus ou une tangente, on obtient toujours le même résultat : \(\sin(0) = \sin (2\pi)\) par exemple. Sur le principe d'enroulement du cercle trigonométrique, voir la page enroulement du cercle et rapporteur trigonométrique.
Les valeurs d'angle à connaître, ou tout simplement à déduire du cercle, sont les suivantes (certaines sont démontrées en page de démonstrations de trigonométrie) :
Tâchez de les utiliser en page d'exercices de trigonométrie...
Le cercle ci-dessous illustre que \(\sin(\frac{\pi}{6})\) \(= \frac{1}{2}\) tandis que \(\cos(\frac{\pi}{6})\) \(= \frac{\sqrt{3}}{2}.\) Par définition, et vous en avez l'illustration graphique, les valeurs prises par les sinus et cosinus sont toujours comprises entre -1 et 1.
Quel que soit l’angle \(\alpha\) nous avons l'égalité \(\tan(\alpha)\) \(=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}.\)
La formule à connaître par-dessus tout est l’identité \((\cos(x))^2 + (\sin(x))^2\) \(= 1,\) qui s’écrit plus couramment \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\).
Le cercle trigonométrique permet de deviner de nombreuses identités (angles associés) : par exemple, \(\cos(x) + \frac{\pi}{2}\) \(= -\sin(x)\) ou encore \(\sin(\pi - x)\) \(= \sin(x)...\) À partir de la classe de première, leur connaissance est indispensable pour travailler sur des fonctions trigonométriques ou, plus simplement, pour résoudre des équations trigonométriques. En outre, la mesure d'angle permet de passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires et une bonne connaissance du cercle facilite certains calculs relatifs aux produits scalaires (formule du cosinus).
