Quelques exercices simples de trigonométrie

Exercices de trigonométrie (niveau première)

Vous tournez en rond sur le web à la recherche d’exercices de trigonométrie ? Faites comme la droite numérique qui s’enroule autour du cercle : arrêtez de tourner et positionnez-vous. En l’occurrence ici. En effet, sur cette page vous trouverez des exercices de trigonométrie du niveau d’une classe de première générale (début de chapitre). Corrigés, bien sûr. Bande de veinards.

 

1- Exercices sur l’enroulement de la droite numérique

A- Placer sur le cercle trigonométrique les points associés aux réels \(\pi,\) \(\frac{7\pi}{4}\) et \(-\frac{2\pi}{3}.\)

B- Sur le cercle trigonométrique sont placés les points \(A\) et \(B\) associés respectivement aux réels \(\frac{7\pi}{3}\) et \(-\frac{23\pi}{4}.\)

Donner les nombres compris entre \(-\pi\) et \(\pi\) qui leur sont associés.

 

2- Exercices sur sinus et cosinus

A- Sans l’aide de la calculatrice, calculer l’expression \(\sin(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{13\pi}{6}).\)

B- Déterminer un réel \(\alpha\) tel que :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos (\alpha ) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\\ {\sin (\alpha ) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} \right.\)

 

Corrigé détaillé ex-1

A- Sachant qu’un tour complet équivaut à \(2\pi,\) il est facile de placer \(\pi.\) Ensuite, si l’on divise le demi-cercle par 4, il suffit pour placer le deuxième point de compter sept quarts dans le sens trigonométrique.

cercle trigo

Le dernier point à placer correspond à une valeur négative. C’est donc dans le sens horaire qu’il faut avancer. Le cercle a été partagé en 6. Il est alors facile de situer les deux tiers d’un demi-cercle.

cercle

B- Pour déterminer l'abscisse curviligne de \(A\) il faut décomposer le quotient de façon à faire apparaître un multiple de \(2\pi.\)

Par exemple :

\(\frac{7}{3}\pi = \frac{6}{3}\pi + \frac{1}{3}\pi\) \(= 2\pi + \frac{\pi}{3}\)

On élimine \(2\pi\) (un tour complet du cercle) et c’est donc \(\frac{\pi}{3}\) qui est associé à \(A.\)

Pour déterminer le nombre associé à \(B,\) il faut trouver un nombre proche de 23 qui soit le multiple de 4. Or 24 se situe entre 23 (soit \(6 \times 4\)) et 16.

Soit on pose \(-\frac{23\pi}{4}\) \(= -\frac{24\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\)

Soit on pose \(-\frac{23\pi}{4}\) \(=-\frac{16\pi}{4} - \frac{7\pi}{4}\)

Dans les deux cas, on ne s’intéresse qu’au second terme puisque le premier correspond à un nombre de tours complets du cercle. Or, l’énoncé précise que le réel cherché doit se situer entre \(-\pi\) et \(\pi.\) La réponse est donc \(\frac{\pi}{3}.\) La seconde valeur aurait été la bonne réponse si nous avions cherché un réel compris entre \(-2\pi\) et 0.

 

Corrigé détaillé ex-2

A- Ne pas utiliser la calculatrice implique de connaître les valeurs remarquables. En l’occurrence, \(\sin(\frac{\pi}{6}) = 0,5\) (voir la page sur la trigonométrie).

Par ailleurs, \(\frac{13\pi}{6}\) \(= \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\) (si vous avez fait l’exercice précédent, vous l’avez deviné).

Donc \(\frac{13\pi}{6}\) \(= 2\pi + \frac{\pi}{6}.\)

Il s’ensuit que le sinus de \(\frac{13\pi}{6}\) n’est autre que le sinus de \(\frac{\pi}{6}.\) Donc une nouvelle fois 0,5.

Ainsi l’expression est égale à \(0,5 + 0,5 = 1\) (tout ça pour ça !).

B- Là encore, nous pouvons étaler notre science à condition de connaître les valeurs remarquables.

Nous savons que \(\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Or nous cherchons l’opposé. À partir du cercle trigonométrique, il est facile de déterminer les deux cosinus qui nous intéressent par symétrie. Soit \(\cos(\frac{3\pi}{4})\) et \(\cos(-\frac{3\pi}{4}).\)

Nous savons aussi que \(\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Si vous maîtrisez le cercle trigonométrique, vous savez que \(\sin(\frac{3\pi}{4})\) est aussi égal à cette valeur. Nous avons ainsi trouvé le nombre qui vérifie simultanément les deux équations : \(\alpha = \frac{3\pi}{4}.\)

 

De plus en plus fort

Vous êtes armé pour résoudre des équations trigonométriques et des inéquations trigonométriques. La page sur les angles associés vous montrera aussi comment utiliser votre calculatrice.

 

enroulement