Les équations trigonométriques

Équations trigonométriques et angles associés

Cette page a le bon goût de montrer les étapes de résolution des équations trigonométriques qui utilisent les angles associés (les formules d’addition et de duplication n'interviennent pas dans les exemples). Son niveau de difficulté est adapté à la première générale. Après l'avoir intégrée, vous pourrez visiter la page sur les inéquations trigonométriques.

Il existe une procédure commune : d’abord une simplification de l’écriture (si besoin) puis la résolution d’une équation trigonométrique élémentaire \(\sin = \sin\) ou \(\cos = \cos\) et enfin la vérification que les solutions ne sont pas redondantes. Les équations élémentaires reposent sur les égalités entre \(\cos(x)\) et \(\cos (-x)\) et entre \(\sin(x)\) et \(\sin(\pi - x).\)

Dans toute cette page, \(k\) est un entier relatif quelconque.

 

La forme \(\sin(x) = \lambda\) ou \(\cos(x) = \lambda\)

Certaines valeurs de \(\lambda\) ne nécessitent que la connaissance du cercle trigonométrique. Elles s’expriment généralement à l’aide de \(\pi.\)

Exemple : résoudre l'équation \(\cos(2x) = \frac{\sqrt3}{2}\) sur \(]-\pi\,;\pi].\)

On doit exprimer \(\frac{\sqrt3}{2}\) en fonction d’un cosinus. On sait que ce sont \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\) et \(\cos\left(\frac{-\pi}{6}\right)\) qui correspondent au cahier des charges (pour ne prendre que les mesures principales). Si l’on ne connaît pas le cercle ou si la valeur cherchée est trop bizarre, on utilise la fonction trigonométrique réciproque avec la calculatrice (mode radians). En l’occurrence, \({\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \approx 0,5236,\) c’est-à-dire \(\frac{\pi}{6}.\) Bref, chemin faisant, nous arrivons aux équations élémentaires :

\(\cos(2x) = \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)\) ou \(\cos(2x) = \cos \left(\frac{-\pi}{6}\right)\)

\(\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(2x = \frac{-\pi}{6} + 2k\pi\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{12} + kπ\) ou \(x = \frac{-\pi}{12} + kπ\)

Ce sont les deux formes de solutions. Si l’on se limite aux mesures principales, on ne relève que 0 et 1 pour valeurs de \(k.\) Si \(k = 0,\) les solutions sont \(\frac{-\pi}{12}\) et \(\frac{\pi}{12}.\) Si \(k = 1,\) elles sont \(\frac{-\pi}{12} + \pi,\) soit \(\frac{11\pi}{12}\) et \(\frac{\pi}{12} + \pi,\) soit \(\frac{13\pi}{12},\) autrement dit \(\frac{-11\pi}{12}.\)

\(S = \left\{\frac{-11\pi}{12}\,; \frac{-\pi}{12}\,;\frac{\pi}{12}\,;\frac{11\pi}{12} \right\}.\)

Dans les exemples qui suivent, on ne relèvera que les solutions générales (voir la page angles orientés pour les recherches de mesures principales).

 

La forme \(\sin(x) = \sin(y)\)

Comme vous le savez, le sinus d’un nombre est aussi égal au sinus de \(\pi\) moins ce nombre. Sauf bien sûr si ce dernier est égal à zéro (modulo \(\pi\)), auquel cas la solution est unique et c’est zéro.

Illustration (le sinus se lit sur l’axe vertical) :

sinus

Si par exemple on doit résoudre l’équation suivante :

\[\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - \sin \left( {3x + \frac{\pi }{2}} \right) = 0\]

Les solutions sont sous la forme :

\(2x - \frac{\pi }{3}\) \(= 3x + \frac{\pi }{2} + 2k\pi \) ou \(2x - \frac{\pi }{3}\) \(= \pi - 3x - \frac{\pi }{2} + 2k\pi \)

Isolons les \(x.\)

\(x = - \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{2} + 2k\pi \) ou \(5x = \frac{\pi }{3} + \pi - \frac{\pi }{2} + 2k\pi \)

On obtient finalement :

\(x = - \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi \) ou \(x = \frac{\pi }{6} + \frac{2}{5}k\pi \)

 

La forme \(\cos(x) = \cos(y)\)

Le cercle ci-dessous illustre l’égalité entre \(\cos(x)\) et \(\cos(-x),\) le cosinus se lisant sur l’axe horizontal :

cosinus

Exemple. Résoudre \(\cos(3x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)\)

Vous êtes maintenant rompu à la technique. On a \(3x\) qui est égal soit à \(\frac{\pi}{4} - x + 2k\pi,\) soit à \(\frac{-\pi}{4} + x + 2k\pi.\) On remarque que, \(k\) étant quelconque, il est équivalent d'écrire \(-2k\pi\) ou \(+2k\pi.\)

Donc, \(4x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(2x = \frac{-\pi}{4} + 2k\pi\) et par conséquent \(x = \frac{\pi}{16} + \frac{1}{2}k\pi\) ou \(x = \frac{\pi}{16} + \frac{1}{2}k\pi\) ou \(x = \frac{-\pi}{8} + k\pi.\)

 

La forme \(\cos(x) = \sin(y)\)

Le plus simple est de transformer l’équation par une égalité entre deux cosinus en remplaçant le sinus. On utilise pour cela une formule d’angles associés, par exemple \(\sin(y) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right).\) On peut évidemment opter pour une égalité entre sinus mais la résolution est un tout petit peu plus longue.

Après cette première étape, on se retrouve dans le cas de figure précédent.  Il ne semble donc pas utile d’ajouter un exemple.

 

Les formes \(a\, \cos^2(x) + b \,\cos(x) + c = 0\) et \(a\,\sin^2(x) + b\, \sin(x) + c = 0\)

L’astuce consiste à opérer un changement de variable, à résoudre l’équation du second degré et à retenir les solutions comprises entre -1 et 1 (puisqu’un cosinus, comme un sinus, est compris entre ces deux valeurs). Ensuite, on retrouve les types d’équations vus ci-dessus.

Soit l’équation \(\cos^2 (x) - 4\,\cos(x) - 5 = 0\)

Changement de variable : soit \(X = \cos(x).\) D’où \(X^2 - 4X - 5 = 0\)

On calcule le discriminant et il vient 36 c’est-à-dire le carré de 6.

Les racines sont \(X_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1\) et \(X_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5.\) Cette seconde racine ne peut être la valeur d’un cosinus. Il n’existe donc qu’une solution, \(X = \cos(x) = -1.\)

Muni du cercle trigonométrique ou de notre infaillible mémoire, voire d’une calculatrice ou d’un logiciel, nous établissons que c’est le cosinus de \(\pi\) qui est égal à -1. Donc la solution est \(\pi + 2k\pi.\)

 

équations trigonométriques