Les formules trigonométriques

Addition et duplication de sinus et cosinus

Les quelques formules de trigonométrie, qui peuvent être démontrées grâce aux propriétés des produits scalaires, sont des outils mathématiques bien commodes.

Au préalable, notons pour mémoire la propriété bien connue selon laquelle \(\sin^2(x) + \cos^2(x)\) \(= 1\). Il est fréquent de l'utiliser dans les exercices de changement d'écriture et vous observerez en fin de page d'intéressants cas d'hybridation avec les formules...

Formules d'addition

\(\cos(x + y)\) \(=\cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)\)

\(\cos(x - y)\) \(=\cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)\)

\(\sin(x + y)\) \(=\sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)\)

\(\sin(x - y)\) \(=\sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)\)

C'est l'expression de \(\cos(x - y)\) qui est habituellement démontrée car il est aisé de la visualiser à l'aide du cercle trigonométrique. Nous ne dérogerons pas aux vieilles habitudes.

Soit deux réeels \(a\) et \(b.\) Ils apparaissent sous forme d'angles dans la figure ci-dessus, associés aux points \(A\) et \(B\) du cercle trigonométrique.

Donc \(A(\cos(a)\,;\sin(a))\) et \(B(\cos(b)\,;\sin(b)).\) Quant à \(b - a,\) c'est la mesure de l'angle formé par les vecteurs \(\overrightarrow {OA} \) et \(\overrightarrow {OB} \) dont le produit scalaire peut être calculé à l'aide de deux formules.

D'abord la formule du cosinus. Rappelons que les normes de \(\overrightarrow {OA} \) et \(\overrightarrow {OB} \) valent 1 puisque \(A\) et \(B\) appartiennent au cercle trigonométrique.

\(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}\) \(= \| {\overrightarrow {OA} } \| \times \| {\overrightarrow {OB} } \| \times \cos (b - a)\) \(= \cos (a - b).\)

En effet, souvenez-vous que \(\cos(-x) = \cos(x).\)

Ensuite, la formule analytique (produit scalaire = \(xx' + yy'\). Ici, ce sont les coordonnées de \(A\) et de \(B,\) donc \(\cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\)

Les deux formulations du même produit scalaire étant évidemment égales, nous obtenons bien \(\cos(x - y)\) \(=\cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y).\)

Formules de duplication

Ces formules sont peut-être moins aisées à retenir que les précédentes mais en cas souvenirs défaillants elles peuvent être retrouvées avec facilité.

1- \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)

2- \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\)

Démontrons la première : \(\sin(2x) = \sin(x + x)\) \(=\sin(x)\cos(x) + \cos(x)\sin(x)\) \(= 2\sin (x) \cos(x)\)

Nous pouvons aussi utiliser l'égalité \(\sin^2(x) + \cos^2(x)\) \(= 1\) pour présenter d'autres forumles de duplication. Ce qui fait beaucoup de formules à apprendre ou à savoir retrouver par démonstration !

3- \(\sin(2x) = 2\sin^2(x)\)

4- \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\)

5- \(\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)\)

Par exemple, démontrons l'égalité 4 à partir de la 1 : \(\cos(2x)\) \(= \cos^2(x) - (1 - \cos^2(x))\) \(= \cos^2(x) - 1 + \cos^2(x)\) \(=2\cos^2(x) - 1\)

Maintenant, deux challenges s'offrent à vous : apprendre les formules et savoir laquelle utiliser dans telle situation !

Voyons un exemple ultra classique, en l'occurrence déterminer le cosinus de \(\frac{\pi}{12}.\)

La première étape est de faire apparaître des valeurs dont on connaît les sinus et cosinus, c'est-à-dire \(\frac{\pi}{2},\)\(\frac{\pi}{3},\) \(\frac{\pi}{4},\) ou \(\frac{\pi}{6}.\) Parfois un énoncé vous met sur la piste.

\(\frac{\pi}{12} = \frac{4\pi - 3\pi}{12}\) \(= \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\)

Nous obtenons une soustraction, ce qui nous oriente vers une formule... d'addition.

\(\cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right)\) \(= \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}\)

À partir de là, il faut connaître le tableau...

\(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\) \(=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}\) \(= \frac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{3})\)

Si d'aventure vous cherchez \(\sin \left(\frac{\pi}{12}\right),\) vos travaux doivent vous conduire à \(\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3} - 1).\)

Une soif d'exercices ? Rassasiez-vous en page d'exercices avec formules trigonométriques.