Le produit scalaire dans le plan

Propriétés du produit scalaire

Cette page balaie le chapitre sur le produit scalaire tel qu'il est délimité dans le programme de première générale.

 

Présentation

Les vecteurs ont tout loisir de s’additionner et d'être multipliés par des scalaires (voir les pages initiation aux vecteurs et vecteurs et coordonnées, destinées aux élèves de seconde). C’est le principe de la linéarité.

Mais ils ont aussi cette étrange possibilité de se multiplier entre eux, quoiqu'il est un peu abusif de parler de multiplication. Le résultat obtenu est un produit scalaire, qui est un nombre réel.

 

Quatre façons de calculer

  1. Soit \(C’\) et \(D’\) les projetés orthogonaux de \(C\) et \(D\) sur la droite \((AB),\) support du vecteur \(\overrightarrow {AB}.\)

    projection
    Le produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow {AB}\) et \(\overrightarrow {CD}\) est le suivant : \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}\) \(= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C'D'}\) \(= AB \times C'D'. \)

    Notez au passage le point, qui est le symbole mathématique de la multiplication vectorielle (se prononce scalaire).

    On constate que si deux vecteurs sont orthogonaux, leur produit scalaire est nul : le vecteur vert pivote jusqu'à ce que \(C’\) et \(D’\) se confondent et le vecteur \(\overrightarrow {AB}\) est multiplié par zéro...

    Par ailleurs, si l'angle formé par les deux vecteurs avait été obtus, le produit scalaire aurait été égal à \(AB \times (-C'D').\)

    Vous trouverez des explications plus détaillées en pages d'orthogonalité dans le plan et de projection orthogonale ainsi qu'un exercice sur l'orthogonalité.

  2. Autre présentation, le produit scalaire est égal au produit des normes euclidiennes multiplié par le cosinus de l’angle que forment les deux vecteurs. C'est l'application de la formule du cosinus.
    \[\overrightarrow u .\overrightarrow v = \| {\overrightarrow u } \| \times \| {\overrightarrow v } \| \times \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\] Si un produit scalaire est égal à zéro, c’est que les vecteurs sont orthogonaux puisque, à moins que l’un d’eux n’ait la mauvaise idée d’être nul, ça signifie que le cosinus est égal à zéro (revoir le cercle trigonométrique pour en être convaincu).

  3. Ainsi, le produit scalaire peut être défini par un angle. Mais il peut aussi l'être par les distances. C'est la formule des normes, que voici ci-dessous.
    \[\frac{1}{2}\left( {{{\| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \|}^2} - {{\| {\overrightarrow u } \|}^2} - {{\| {\overrightarrow v } \|}^2}} \right)\]
  4. Plaçons-nous à présent dans un repère orthonormé. Si deux vecteurs ont pour coordonnées \((x\,;y)\) et \((x’\,;y’),\) leur produit scalaire est égal à \(xx’ + yy’.\) Voir la page produit scalaire en géométrie analytique.

Les équivalences entre ces formules permettent de calculer des angles (voir la page produit scalaire et mesures d'angles) ou de démontrer des formules trigonométriques.

 

Carré scalaire

Un vecteur multiplié par lui-même est un carré scalaire. Dans la mesure où le résultat est un réel, il n’y a pas lieu de le placer sous une flèche : \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = A{B^2}\)

 

Propriétés

Commutativité, associativité et distributivité :

Soit un réel \(k.\)

Le produit scalaire de deux vecteurs est symétrique.

  • \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \overrightarrow v .\overrightarrow u \)

Il est aussi bilinéaire.

  • \(\left( {k\overrightarrow u } \right).\overrightarrow v = k\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right)\)
  • \(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w \)

Identités remarquables :

  • \({\left( {\overrightarrow u \pm \overrightarrow v } \right)^2} = {\overrightarrow u ^2} + {\overrightarrow v ^2} \pm 2\overrightarrow u .\overrightarrow v \)
  • \(\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right).\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = {\overrightarrow u ^2} - {\overrightarrow v ^2}\)

Voir les exercices sur le produit scalaire pour vous exercer sur les propriétés, la formule du cosinus et la formule des normes.

 

Formules de la médiane

Soit \(O\) le milieu du segment \([AB]\) et \(M\) un point quelconque du plan (donc, \(A,\) \(B\) et \(M\) forment un triangle).

\(M{A^2} + M{B^2}\) \(= 2O{M^2} + \frac{1}{2}A{B^2}\)

On a également \(M{A^2} - M{B^2}\) \(= 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {BA}. \)

Mais aussi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = M{O^2} - O{A^2}.\)

Voir la page sur les formules de la médiane.

 

Inégalité de Schwarz (hors du programme de première)

\(\forall \overrightarrow u \in {\mathbb{R}^2},\) \(\forall \overrightarrow v \in {\mathbb{R}^2},\) \(\| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \| \leqslant\sqrt {\overrightarrow u .\overrightarrow u } \sqrt {\overrightarrow v .\overrightarrow v } \)

Elle permet de démontrer l'inégalité triangulaire.

 

Cercle

Le cercle de diamètre \([AB]\) est l’ensemble des points \(M\) vérifiant le produit scalaire \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0.\)

On a aussi le moyen de connaître les points \(P\) de la tangente au cercle au point \(M\) : \(\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MO} = 0.\)

En géométrie analytique, on peut déterminer l'équation d'un cercle dont on connaît deux points distincts en utilisant un produit scalaire.

 

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