Un produit scalaire dans le plan est une opération abstraite, peu intuitive. Enseigné dès les classes de premières S et STI, elle constitue pourtant une introduction aux mécanismes du produit scalaire dans l’espace puis surtout au produit matriciel, fondement de techniques plus élaborées et très opérationnelles (analyses factorielles, régression multiple). Encore que l’utilisation de logiciels ôte pour certains utilisateurs (dont vous ne faites certainement pas partie…) l’intérêt de connaître la théorie. Mais (re)venons en première S.

Présentation

Les vecteurs ont tout loisir de s’additionner et d'être multipliés par des scalaires. C’est le principe de la linéarité. Ils ont aussi cette étrange possibilité de se multiplier entre eux, quoi qu'il est un peu abusif de parler de multiplication. Le résultat obtenu est un produit scalaire, qui prend la forme d'un réel.

Il est égal au produit des normes euclidiennes multiplié par le cosinus de l’angle que forment les deux vecteurs. Ainsi, le produit scalaire peut être défini par un angle. Mais aussi par les distances au carré. Nous verrons un peu plus bas une troisième définition.

Notez au passage le point, qui est le signe mathématique de la multiplication vectorielle.

Si un produit est égal à zéro, c’est que les vecteurs sont orthogonaux puisque, à moins que l’un d’eux n’ait la mauvaise idée d’être nul, c’est le cosinus qui est égal à zéro.

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, si deux vecteurs ont pour coordonnées (x ; y) et (x’ ; y’), leur produit scalaire est égal à xx’ + yy’.

Un vecteur multiplié par lui-même est un carré scalaire. En géométrie analytique, les vecteurs peuvent être définis par les coordonnées de points A et B. Dans la mesure où le résultat est un réel, il n’y a pas lieu de le placer sous une flèche :

Orthogonalité

Soit C’ et D’ les projetés orthogonaux de C et D sur la droite (AB), support du vecteur AB.

Le produit scalaire des vecteurs AB et CD est le suivant :

C’est la troisième façon de présenter le produit scalaire. On constate encore, sous cette nouvelle forme, que si deux vecteurs sont orthogonaux, c’est que leur produit est nul : le vecteur vert pivote jusqu'à ce que C’ et D’ se confondent et AB est multiplié par zéro...

Un vecteur est normal à une droite s’il lui est orthogonal. Dans un repère orthonormé, les coordonnées du vecteur normal à la droite d d’équation cartésienne αx + βy + δ = 0 sont (α ; β). A contrario, deux droites ne sont perpendiculaires que si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.

La distance entre un point A et son projeté sur une droite est égale à la valeur absolue du vecteur normal multiplié par la distance entre A et n’importe quel point de la droite, le tout rapporté à la norme (illustration en page produit scalaire dans l'espace).

Propriétés

Commutativité, associativité et distributivité :

Soit un réel k.

Identités remarquables :

Cercle :

Si, dans un plan orthonormé, on a la chance d'avoir un cercle de centre O (a ; b) et de rayon R, l’équation du cercle est R² = (x – a)² + (y – b)².

Un exemple de détermination des caractéristiques d'un cercle figure en page forme canonique des trinômes.

Une inégalité, par exemple x² + y² ≤ 1, définit un disque, cest-à-dire l'ensemble des points contenus dans un cercle.

On a aussi le moyen de connaître les points P de la tangente au cercle au point M :

Formules de la médiane :

Soit O le milieu du segment [AB] et M un point quelconque du plan (donc, A, B et M forment un triangle).

On a également…

Mais aussi…

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