L'équation d'un cercle

Équation cartésienne d'un cercle

Vous connaissez certainement quelques propriétés du cercle, vues au cours des années de collège. Mais lorsque celui-ci prend place en géométrie analytique, cette figure permet de nouveaux amusements (pardon, d’intéressants exercices) pour la plus grande joie des élèves de première générale.

 

Formule

Une équation du cercle de centre \(C(x_0\,;y_0)\) et de rayon \(r\) dans le plan muni d'un repère orthonormé est \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2\) \(= r^2.\)

Explication. Souvenez-vous de la formule de la distance entre deux points \(A\) et \(B\) :

\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]

Soit \(M\) un point quelconque du cercle, de coordonnées \((x\,; y).\) Le carré de sa distance à \(C\) est donc \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2\) et c’est, par définition, le carré du rayon.

 

Détermination de l’équation d’un cercle

Selon les énoncés, vous rencontrez trois cas.

1- On connaît les coordonnées du centre et la mesure du rayon. C’est le cas le plus simple. Il suffit de prendre l’expression générale de l’équation et de faire un copier-coller avec les données de l’énoncé. Soit un cercle de centre \(C(1\,;4)\) et de rayon 6, son équation est \((x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 36.\)

2- On connaît les coordonnées d’un point \(A\) du cercle et celles du centre. Ici, on utilise dans un premier temps les coordonnées de \(A\) pour trouver le rayon, puis on retombe sur le cas 1.

Soit un cercle de centre \(C(1\,;-2)\) qui contient le point \(A(4\,;-1).\) La distance au carré entre \(C\) et \(A\) est donc \(CA^2 = (4 - 1)^2 + (-1 + 2)^2\) \(= 9 + 1 = 10.\) Par conséquent, l’équation du cercle est \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 10.\)

3- On connaît seulement les coordonnées de deux points diamétralement opposés du cercle. La détermination de l’équation est moins immédiate car elle passe par la résolution d’un produit scalaire.

Pourquoi ?

Vous savez que si un triangle \(ABM\) est inscrit dans un cercle et que \(AB\) est un diamètre du cercle, alors ce triangle est rectangle et \(AB\) est l’hypoténuse.

triangle rectangle inscrit dans un cercle

Dans la représentation ci-dessus, \(M\) pourrait se situer n’importe où sur le cercle ; le triangle resterait rectangle en \(M.\)

Par conséquent, les vecteurs \(\overrightarrow {AM} \) et \(\overrightarrow {BM} \) sont orthogonaux. D’où l'équation à poser : \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0\)

Il existe une autre technique, assez évidente, qui ne s’appuie pas sur le produit scalaire : elle consiste à déterminer le centre du cercle, c’est-à-dire le milieu de \(AB,\) ce qui nous ramène au cas 2. Mais ce n’est pas dans l’esprit du programme de première de l’utiliser ! Ci-dessous, nous emploierons les deux techniques.

 

Exemple

Soit \(A(-2\,;3)\) et \(B(0\,;-1)\) deux points diamétralement opposés d’un cercle dont on recherche l’équation.

Technique 1

Soit \(M(x\,;y)\) n’importe quel point du cercle.

\(\overrightarrow {MA} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 - x}\\ {3 - y} \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {MB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { 0 - x}\\ {-1 - y} \end{array}} \right)\)

Le produit scalaire nous donne :

\((-2 - x)(0 - x) + (3 - y)(-1 - y)\) \(= 0\)
\(\Leftrightarrow 2x + x^2 - 3 - 3y + y + y^2 = 0\)
\(\Leftrightarrow x^2 + y^2 + 2x - 2y - 3 = 0\)

Pour reconnaître l’équation d’un cercle, il faut recourir à la forme canonique.

\((x + 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 - 3\) \(= 0\)
\(\Leftrightarrow  (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 5\)

Remarquez au passage que le second membre est positif. S’il était nul, le « cercle » serait réduit à un seul point (rayon = 0) et s’il était négatif, l’équation ne serait pas celle d’un cercle (la somme de deux carrés ne peut pas être négative).

Voir aussi la page d'exemple d'équation de cercle.

Technique 2

Amusons-nous à reprendre cet exemple mais en utilisant les coordonnées du centre du cercle, que nous nommerons \(O.\)

\[O\left( {\frac{{ - 2 + 0}}{2}\,;\frac{{3 - 1}}{2}} \right)\]

Donc \(O(-1\,;1).\)

Quel est le carré du rayon ? Servons-nous de \(A.\)

\(OA^2 = (-2 + 1)^2 + (3 - 1)^2\) \(= 1 + 4 = 5.\)

Par conséquent l’équation est bien \((x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 5.\) Vous pouvez recourir à cette technique pour vérifier si vos calculs avec produit scalaire sont exacts.

 

Disque

Le disque est l’aire formée à l’intérieur du cercle.

Si un cercle est défini par une équation, un disque l’est par une inéquation. Exemple ci-dessous du disque défini par \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 \leqslant4\)

disque

Bien entendu, si l’on inverse le sens de l’inégalité, \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 \geqslant 4\)

disque en creux

 

cercle vicieux