Quelques propriétés des triangles
Cette page est un aide-mémoire sur les triangles. Elle ne se rattache à aucun programme scolaire en particulier mais seuls les termes enseignés au collège sont soulignés. Parmi une multitude de propriétés, seules quelques-unes sont énoncées.
Angles
En géométrie plane, la somme des mesures des trois angles vaut 180°.
Aires
Définissons d’abord la hauteur et la base d’un triangle.
La base est l’un des côtés du triangle. La hauteur est la distance qui relie perpendiculairement la base au troisième sommet du triangle. On a donc trois bases possibles avec trois hauteurs associées.
Soit \(b\) la base et \(h\) la hauteur. L’aire est égale à \(0,5bh.\)
Dans l’exemple ci-dessous, \(b = 6\) et \(h = 4.\) Donc l’aire du triangle est de \(6 × 4 × 0,5 = 12.\)
\(D\) est le pied de la hauteur issue de \(B.\)
C’est \(AC\) qui a été choisi pour base parce dans cet exemple il s’agit du côté le plus pratique à utiliser mais nous aurions pu prendre \(AB\) ou \(BC.\) La hauteur aurait été différente mais nous serions bien retombés sur une aire de 12.
L’aire de ce triangle est aussi celle d’un rectangle qui aurait pour longueur \(b\) et pour largeur la moitié de \(h.\) Preuve visuelle ci-dessous, on ampute notre triangle initial de deux triangles rectangles que l’on déplace pour obtenir un rectangle de 12 carreaux.
Il existe d'autres façons de calculer l'aire d'un triangle \(ABC.\) L'une d'elles est de recourir à la trigonométrie (formule démontrée en page de loi des sinus), une autre est la formule de Héron d'Alexandrie.
\(\mathscr{A} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin Â\)
Voir l'exercice sur le projeté orthogonal.
Inégalité triangulaire
La longueur de chaque côté d’un triangle est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Cette règle permet de savoir si l’on peut construire un triangle à partir de trois mesures de segments. Elle est aussi réutilisée au lycée (voir la page fonction valeur absolue).
Droites remarquables
Nous avons évoqué la hauteur. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé l'orthocentre.
La médiatrice d’un segment est la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par son milieu (pour sa construction, voir la page sur les tracés à la règle et au compas). Un triangle a donc trois médiatrices. Celles-ci se croisent en un unique point qui est le centre du cercle circonscrit du triangle.
Les médianes d’un triangle sont les droites qui passent par l’un de ses sommets et par le milieu du côté opposé. Elles sont sécantes en un seul point, le centre de gravité du triangle.
Une médiane coupe le triangle en deux triangles de même aire et les trois médianes découpent le triangle en six triangles de même aire :
Une propriété est que le centre de gravité se situe aux \(\frac{2}{3}\) de chaque médiane en partant du sommet.
L'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont alignés sur la droite d'Euler (sauf si le triangle est équilatéral, auquel cas ils sont confondus).
La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet de l'angle et qui le partage en deux parties égales. Voir illustration et propriété en page cercle et tangente.
Triangles égaux et semblables
Deux triangles sont égaux si et seulement si leurs côtés sont de même longueur deux à deux. Il s’ensuit que leurs angles sont de même mesure deux à deux. Deux triangles égaux sont donc superposables.
Deux triangles sont semblables si et seulement si leurs angles sont de même mesure deux à deux. Les côtés des deux triangles sont donc proportionnels deux à deux (les triangles semblables ont la même forme mais l’un peut être plus petit que l’autre).
Triangles particuliers
Si un triangle \(ABC\) est isocèle en \(A,\) cela signifie que \(AB\) et \(BC\) sont de même longueur, que les angles en \(B\) et en \(C\) ont même mesure et que la médiatrice de \([BC]\) est un axe de symétrie du triangle \(ABC\) (formant deux triangles rectangles de mêmes mesures).
Le triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur. Chaque angle mesure 60°. Les médiatrices de ses trois côtés sont des axes de symétrie du triangle.
Le triangle rectangle a un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse. Sa propriété la plus célèbre est énoncée par le théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs. Autre propriété, parfois appelée second théorème de Thalès : l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit du triangle (en d'autres termes, le milieu de l'hypoténuse est équidistant des trois sommets).
Le triangle scalène est celui qui a trois côtés de longueurs différentes.
Un triangle rectangle peut être scalène ou isocèle mais pas équilatéral.
