Perpendicularité et parallélisme
Cette page peut détonner dans ce site qui explique des centaines de techniques utilisées depuis la classe de seconde jusqu’à la vie professionnelle puisqu’un collégien n’aura aucune difficulté à appliquer les deux processus expliqués ici. En l’occurrence, le tracé de droites perpendiculaires et parallèles dans le plan.
Toutefois, alors qu’en classe de sixième on se sert d’une équerre, nous tracerons nos figures comme on le faisait bien avant Euclide : avec une règle non graduée et un compas.
Alors pourquoi cette page ? Parce que ces techniques peuvent être réutilisées en terminale générale (maths expertes). En effet, le programme offre la possibilité de tracer un pentagone à la règle et au compas (chapitre des nombres complexes en géométrie), offrant l’occasion de faire ressurgir des souvenirs enfouis.
Perpendicularité
Deux droites sont perpendiculaires si elles se croisent à angle droit. Éventuellement, elles peuvent servir de base à un repère orthogonal.
Tracez une droite. Sur celle-ci, marquez deux points (allez, au hasard, \(A\) et \(B\)). Placez la pointe du compas sur l’un d’eux. L’écartement ne doit pas être trop petit. En tout cas supérieur à la moitié du segment. Comme il s’agit d’un travail manuel, celui-ci sera d’autant plus précis que l’écartement du compas sera grand.
Tracez deux arcs de cercle de part et d’autre de la droite (ou le cercle complet si ça vous chante).
Réitérez l’opération avec la pointe sur l’autre point, pas nécessairement avec le même écartement de compas. Les arcs doivent se croiser comme ci-dessous. Il suffit ensuite de relier à la règle les deux intersections d’arcs de cercles (en rouge).
Notez que si nous avions conservé le même écartement entre les deux tracés d’arcs, nous aurions construit la médiatrice du segment \([AB]\) puisque la perpendiculaire le couperait en son milieu. Grâce à cette technique, on peut donc aussi déterminer le milieu d’un segment.
Parallélisme
Deux droites sont parallèles si elles n’ont aucun point en commun. Elles ont la même direction.
Tracez une droite et marquez deux de ses points, \(A\) et \(B\), comme nous l’avons fait plus haut.
Ajoutez un troisième point \(C.\) Celui-ci ne doit pas se trouver sur la droite puisqu’il appartiendra à celle qui lui est parallèle.
Ajustez l’écartement du compas entre l’un des points de la droite (\(B\) ci-dessous) et \(C.\) Reportez cet écartement avec la pointe sur le point \(A\) et tracez un arc de cercle (du même côté que le point isolé) :
Laissez la pointe du compas sur le point \(B\) mais cette fois ajustez l’écartement en plaçant la mine sur le point \(A.\).
Maintenez cet écartement et placez la pointe sur \(C.\) Tracez un arc de cercle qui coupe celui que vous venez de tracer en un point \(D.\)
Reste à tracer la droite \((CD).\)
Nous n’avons pas seulement tracé une parallèle mais bien un parallélogramme puisque \(BC = AD\) et \(AB = DC.\)
Notez qu’une autre technique peut être employée. Elle consiste à appliquer celle qui nous a servi à trouver un milieu de segment. Le principe est alors de construire un parallélogramme à partir de ses diagonales et non pas de ses côtés. Comme elle est plus longue, nous ne l’expliquerons pas.
La combinaison de la construction d’une médiatrice et de celle d’une parallèle permet de réaliser une autre figure, celle d’une perpendiculaire à une droite \((AB)\) passant par un point \(C.\)
