Produit scalaire et géométrie analytique
En classe de seconde, on présente les vecteurs indépendamment de tout repère mais on les étudie aussi dans un plan repéré. En première générale et de certaines premières technologiques (STI2D et STL), on consolide l’édifice en abordant les produits scalaires. Eux aussi sont présentés dans le cadre de la géométrie pure et dans celui de la géométrie analytique (repérée). Cette page présente le B.A-BA du produit scalaire en géométrie analytique.
Principe
Dans un plan muni d'un repère orthonormé \((O\,;\overrightarrow i ,\overrightarrow j ),\) le produit scalaire de deux vecteurs dont les coordonnées sont \((x\,;y)\) et \((x’\,;y’)\) est égal à \(xx’ + yy’.\) Il s’exprime en fonction des vecteurs \(\overrightarrow i\) et \(\overrightarrow j.\)
Exemple
Soit \(A,\) \(B\) et \(C\) les points de coordonnées respectives \((2\,;3),\) \((-1\,;2)\) et \((-3\,;-1).\)
\(\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow i - \overrightarrow j \)
\(\overrightarrow {AC} = - 5\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\) \(= [( - 3) \times ( - 5)] + [( - 1) \times ( - 4)]\) \(= 19\)
Exercice 1
Soit les points du plan muni d'un repère orthonormé \(A\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;\frac{1}{4}} \right),\) \(B\left( {\sqrt 2 \,;\frac{3}{4}} \right)\) et \(C\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\,;\frac{1}{4}} \right).\)
Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} .\) Réaliser une figure avec GeoGebra puis vérifier le résultat avec ce logiciel.
Exercice 2
Soit les vecteurs \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - m - 1}\\ { - m} \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow v \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - m - 3} \end{array}} \right)\). Trouver \(m\) tel que \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) soit nul.
Corrigé 1
\(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\sqrt 2 }}{2}}\\ {\frac{1}{2}} \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {AC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 2 }\\ 0 \end{array}} \right)\)
Il s’ensuit que \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\) \(= \frac{{\sqrt 2 }}{2} \times \sqrt 2 + 0\) \(= 1\)
Vérifions-le avec GeoGebra. On clique d’abord sur « option » puis sur « arrondi » et on retient quatre décimales (si l’on n’en prend que deux, les arrondis ne permettront pas de retrouver le bon résultat !). Puis on saisit les quatre points. Nommons les vecteurs \(u\) et \(v.\)
Multiplions \(u\) par \(v\) (GeoGebra utilise le même symbole * pour le produit et pour le produit scalaire).
GeoGebra a nommé \(a\) le produit scalaire. Il est bien égal à 1 :
Corrigé 2
Posons \(2(-m - 1) + (-m)(-m - 3)\) \(= 0\)
\(-2m - 2 + m^2 + 3m = 0\)
\( \Leftrightarrow m^2 + m - 2 = 0\)
Calculons le discriminant.
\(\Delta = 1^2 - 4(1 \times -2) = 9\)
L’équation admet deux solutions, \(m_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2\) et \(m_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\)
\(S = \{-2\,;1\}\)
Un produit scalaire nul signifie que les vecteurs sont orthogonaux. Remplaçons les deux valeurs de \(m\) dans \(\overrightarrow u\) et \(\overrightarrow v .\) Ceci nous permet de conclure que les vecteurs \((1\,;2)\) et \((2\,;-1)\) sont orthogonaux ainsi que les vecteurs \((-2\,;-1)\) et \((2\,;-4).\)
Mais encore...
Voir aussi les exercices des pages lecture graphique du produit scalaire, produit scalaire et orthogonalité, exercices sur l'orthogonalité dans le plan et produit scalaire et mesures d'angles.
