Vecteurs dans un plan muni d'un repère
Vous êtes en classe de seconde et vous commencez à étudier le chapitre sur les vecteurs. Vous constatez avec soulagement que ce n’est pas le chapitre le plus difficile de l’année. Alors vous souhaitez profiter de l’occasion pour remonter une moyenne de maths qui ne demande qu’à s’élever. Excellente idée ! Pour vous aider dans cette tâche, vous avez compris que passer quelques minutes sur ce site web était une solution particulièrement profitable. Alors vous avez dévoré la page vecteurs et translations et vous êtes impatient d’en connaître la suite. Eh bien justement la voici. Nos amis les vecteurs s’égayent à présent dans un plan muni d’un repère.
Les coordonnées
Ainsi, vous pouvez désormais les définir grâce à des points qui ont des coordonnées catésiennes. Fini le temps où il fallait compter des carreaux (sauf pour vérifier les calculs)…
Si l’on connaît les coordonnées d’un point \(A\) et celles d’un point image \(B\) par la translation d’un vecteur, il suffit pour connaître ce dernier de soustraire les coordonnées de \(A\) à celles de \(B\) :
\(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_B} - {x_A}}\\ {{y_B} - {y_A}} \end{array}} \right)\)
Si par exemple on a \(A(2\,; - 1)\) et \(B(3\,;4)\), alors \(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - 2}\\ {4 - ( - 1)} \end{array}} \right)\), donc \(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 5 \end{array}} \right)\)
Comptons quand même une dernière fois les carreaux pour nous rassurer...
Pour aller de \(A\) à \(B\), on avance horizontalement de 1 et verticalement de 5. Évidemment, si le point \(A\) était confondu avec l’origine \(O\), les coordonnées de \(B\) seraient identiques aux coordonnées du vecteur.
Bien. Le cours se poursuivra avec la colinéarité, qui fait l’objet d’une autre page. Passons à un exercice d’application.
Exercice
1- On considère quatre points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) dans un plan muni d’un repère orthonormé. \(A( - 2\,; - 1)\), \(B(0\,;1)\), \(C(2\,;0)\) et \(D(4\,;2)\). Montrer que \(ABDC\) forme un parallélogramme en utilisant des vecteurs.
2- Montrer à nouveau que \(ABDC\) est un parallélogramme mais cette fois-ci avec la règle du milieu.
Corrigé
1- \(ABDC\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \).
Note : attention à l’ordre des points. Si à l'avenir vous travaillez sur un parallélogramme \(ABCD\), il faudra que le vecteur \(\overrightarrow {AB} \) soit égal \(\overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0 - ( - 2)}\\ {1 - ( - 1)} \end{array}} \right)\) donc \(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 2 \end{array}} \right)\)
\(\overrightarrow {CD} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - 2}\\ {2 - 0} \end{array}} \right)\) donc \(\overrightarrow {CD} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 2 \end{array}} \right)\)
Par conséquent \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \)
\(ABDC\) est bien un parallélogramme. Notez que l’on aurait aussi bien pu utiliser les vecteurs \(\overrightarrow {BD} \) et \(\overrightarrow {AC} \) (ce que vous vous empressez de vérifier à titre d’exercice, bien entendu).
2-\(ABDC\) est un parallélogramme si et seulement si le milieu \(M\) de \([AD]\) est aussi le milieu de \([BC]\). Nous avons le choix entre deux techniques pour trouver les coordonnées du milieu \([AD]\). La première utilise les vecteurs. Pour cela on pose \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MD} \).
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_M} - ( - 2)}\\ {{y_M} - ( - 1)} \end{array}} \right)\) \(= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - {x_M}}\\ {2 - {y_M}} \end{array}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_M} + 2 = 4 - {x_M}}\\ {{y_M} + 1 = 2 - {y_M}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x_M} = 2}\\ {2{y_M} = 1} \end{array}} \right. \end{array}\)
Donc, \(M(1\,;0,5)\).
Vous trouverez le même résultat en calculant le milieu de \([BC]\). Cette technique n’est pas la plus rapide. Elle est détaillée quand même car nous vous parions un kilo de parallélogrammes que vous aurez à résoudre des exercices où ce sont les coordonnées d’un point qui seront les inconnues. Il vous suffira alors de résoudre deux petites équations, comme ici.
L’autre technique consiste à utiliser la formule du milieu (voir page géométrie analytique). Ainsi, les coordonnées du milieu de \([AD]\) sont…
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_D}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_D}}}{2}} \right)\), soit \(M\left( {\frac{{ - 2 + 4}}{2};\frac{{ - 1 + 2}}{2}} \right)\), donc \(M\left( {1\,;\frac{1}{2}} \right)\).
Ainsi on obtient plus rapidement les coordonnées de \(M\). Il faut ensuite répéter la même opération en calculant le milieu de \([BC]\) (ou de \([CB]\) car nous n’utilisons pas les vecteurs et l’ordre des deux points n’a donc aucune importance). Évidemment, si vous étudiez les vecteurs avant la géométrie analytique, vous n'avez pas le choix de la technique !
Pour information, voici la figure (réalisation Géoplan) :
