Ce n’est un secret pour personne, une expression algébrique peut toujours être écrite de plusieurs façons (développements, factorisations…). Par exemple, s’il s’agit de l’expression d’une fonction, il peut être nécessaire de la travailler pour déterminer plus facilement une limite, une dérivée ou une primitive…

Forme canonique d’un trinôme

Un trinôme ou une fonction polynomiale du second degré ne représente pas une formulation bouleversante de complexité. Pourtant, il existe trois façons habituelles de l’exprimer.

La première est la forme développée. f(x) = ax² + bx + c (a, b et c étant des nombres fixes). C’est la plus simple, en particulier pour déterminer la dérivée, une primitive ou une limite.

La seconde est la forme factorisée. La factorisation n’est pas toujours possible sur l’ensemble des réels mais elle l’est sur celui des complexes. Une telle forme est très pratique pour une étude de signe. On l’obtient à partir de la forme développée en déterminant la ou les deux racines, par exemple à l’aide du discriminant. En sens inverse, le développement d’une forme factorisée est plus immédiat puisqu'il n'y a aucune formule à retenir.

La troisième est la forme canonique. Bien que d’aspect moins avenant que les deux autres, elle est en principe enseignée en classe de première, avant le discriminant. Elle permet en effet un prolongement vers la forme factorisée sans avoir recours à celui-ci (Cf. exemple ci-dessous). C’est d’ailleurs elle qui permet la démonstration de la formule du discriminant. Elle sert beaucoup moins souvent que la forme développée ou que la forme factorisée.

Sa mise en œuvre et sa présentation sont fondées sur les identités remarquables.

Prenons un exemple afin de bien détailler la procédure (pour ne pas dire la « canonisation »...).

Soit la fonction f(x) = 2x² – 2x – 12.

La première étape consiste à mettre en facteur le coefficient a (en l’occurrence : 2). On obtient f(x) = 2(x² – x – 6).

On cherche ensuite à trouver le début d’une identité remarquable. Quelle est celle qui permet, en la développant, de trouver x² – x ? C’est bien sûr (x – ½)². Sauf qu’en troisième terme, on obtient ¼ alors qu’il faudrait -6. Qu’à cela ne tienne, ôtons la différence entre les deux, soit 25 / 4.

Et voici la forme canonique. Elle intègre une expression au carré.

Des manipulations simples permettent d’obtenir une FACTORISATION grâce à l’identité a² – b² = (a – b)(a + b).

f(x) = 2[x – ½ – (5 / 2)][x – ½ + (5 / 2)], donc, en simplifiant, f(x) =  2(x – 3)(x + 2).

Inversement, il est très facile de partir de la forme canonique pour aboutir à l'expression développée.

Remarquons que la forme canonique donne directement les coordonnées de l’extremum de la parabole représentative de la fonction. Son abscisse est l’opposé du nombre qui se trouve avec x, dans le carré. Ici, la courbe admet donc un axe de symétrie en x = 0,5. L’ordonnée de l’extremum est la valeur qui s’ajoute à l’expression au carré, soit 2 × (-25 / 4), donc -25 / 2. Les coordonnées du point minimal de la fonction se dévoilent donc : (0,5 ; -12,5).

Pour résumer, la forme canonique est la suivante (avec Δ = b² – 4ac) :

Il est inutile de connaître cette formule par cœur. En pratique, on procède pas à pas comme dans l’exemple ci-dessus.

On remarque que si la forme canonique présente une ADDITION et non une soustraction, le polynôme ne peut être factorisé dans R puisqu’aucune identité remarquable ne peut être appliquée.

Équation d’un cercle dans le plan

La technique de mise sous forme canonique n’est pas seulement utile que dans le milieu restreint des fonctions polynomiales du second degré. Découvrons-lui un autre cadre, celui du produit scalaire. Ce type d’utilisation figure au programme de première S.

Considérons deux points du plan, A(2 ; 3) et B(-1 ; 4). On cherche l’ensemble des points M tels que MA² + MB² = 10.

Notre point M étant pour l’instant mystérieux, prêtons-lui les coordonnées (x ; y).

On a MA² = (2 – x)² + (3 – y)² et MB² = (-1 – x)² + (4 – y)², ce qui permet de poser :

(2 – x)² + (3 – y)² + (-1 – x)² + (4 – y)² = 10

Quatre identités remarquables ! Un régal.

4 – 4x + x² + 9 – 6y + y² + 1 + 2x + x² + 16 – 8y + y² = 10

Simplifions pour que le régal soit digeste.

2x² – 2x + 2y² – 14y  = -20

Une division par 2 sera du plus bel effet.

x²  – x + y² – 7y = -10

Et voici le moment tant attendu, celui de la double mise en forme canonique (pour x et pour y).

(x – 0,5)² – 0,25 + (y – 3,5)² – 12,25 = -10

Que reste-t-il ? L’équation d’un cercle.

(x – 0,5)² + (y – 3,5)² = 2,5.

M représente donc l’ensemble des points du cercle dont le centre C a pour abscisse 0,5 et pour ordonnée 3,5. Son rayon est égal à la racine carrée de 2,5.

NB : une SOUSTRACTION de deux carrés scalaires faisant intervenir le même point se traduit graphiquement non par un cercle mais par une droite.