La forme canonique

Forme canonique d'un trinôme

Ce n’est un secret pour personne, une expression algébrique peut être écrite de plusieurs façon : développée, factorisée (mais pas toujours)... Par exemple, s’il s’agit de l’expression d’une fonction, il peut être nécessaire de la travailler pour déterminer plus facilement son extremum, ses racines, sa dérivée

La forme canonique d'un trinôme est parfois abordée en classe de seconde (voir la page sur les expressions d'une fonction du second degré) puis revue de façon plus détaillée en première générale en début d'année. C'est là qu'intervient cette page (même si quelques termes employés ci-dessus vous laissent pour l'instant perplexes). Elle réapparaît en cours d'année lors de l'étude de formes géométriques dans le plan (cercle et parabole).

 

Forme canonique d’un trinôme

Un trinôme ou une fonction polynomiale du second degré ne représentent pas une formulation bouleversante de complexité. Pourtant, il existe trois façons habituelles de les exprimer.

Ci-dessous, \(a,\) \(b,\) \(c,\) \(\alpha,\) \(\beta,\) \(x_1\) et \(x_2\) représenteront des réels fixes (\(a \ne 0\)) et \(x\) une variable définie sur \(\mathbb{R}.\)

La première est la forme développée de type \(f(x) = ax^2 + bx + c.\) C’est la plus simple, qui a de nombreuses utilités.

La seconde est la forme factorisée de type \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) (les signes négatifs ne sont là que par cohérence avec une formule que vous découvrirez plus tard, vous pouvez très bien rencontrer des signes positifs). La factorisation n’est pas toujours possible sur l’ensemble des réels. C'est la forme la plus pratique pour une étude de signe. On l’obtient à partir de la forme développée à l’aide du discriminant, que vous étudierez juste après la forme canonique, et éventuellement avec la forme canonique (voir plus bas). En sens inverse, le développement d’une forme factorisée est plus immédiat.

La troisième est la forme canonique de type \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta.\) Bien que d’aspect moins avenant que les deux autres, elle est en principe enseignée avant le discriminant. Elle permet en effet un prolongement vers la forme factorisée sans avoir recours à celui-ci (Cf. exemple ci-dessous). C’est d’ailleurs elle qui permet la démonstration de la formule du discriminant. Elle sert beaucoup moins souvent que les deux autres formes (voir l'exercice 2 de la page exercices sur le second degré). C'est toutefois la plus immédiate pour déterminer l'extremum d'une fonction. Par ailleurs, vous la retrouverez lorsque vous devrez déterminer l'équation d'un cercle dans le plan (voir la page forme canonique et équation d'un cercle).

Sa mise en œuvre et sa présentation sont fondées sur une identité remarquable.

Prenons un exemple afin de bien détailler la procédure (pour ne pas dire la « canonisation »), ou plutôt LES différentes façons d'obtenir une forme canonique à partir d'une développée.

 

Techniques

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x^2 - 2x - 12.\)

Donc \(a = 2,\) \(b = -2\) et \(c = -12.\)

Technique 1 (suivant la démarche de la démonstration)

La première étape consiste à mettre en facteur le coefficient \(a\) (en l’occurrence : \(2\)). On obtient \(f(x) = 2(x^2 - x - 6).\) Appelons-la la technique 1bis, vous pouvez aussi exclure \(c\) de la factorisation : \(f(x) = 2(x^2 - x) - 12.\) Le but de cette étape est de présenter \(x^2\) avec un coefficient 1 dans le deuxième facteur.

On cherche à trouver le début d’une identité remarquable. Quelle est celle qui permet, en la développant, de trouver \(x^2 - x\) ? C’est bien sûr \((x - \frac{1}{2})^2.\) Concrètement, vous retenez la moitié du coefficient de \(x\).

Le problème, c'est que si l'on développe \((x - \frac{1}{2})^2,\) on trouve \(x^2 - x + \frac{1}{4}.\) Il faut donc faire intervenir l'opposé de cette valeur.

Détail de la technique 1 :

\(f(x) = 2\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{4} - 6} \right]\)
\( \Leftrightarrow f(x) = 2\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \right]\)
\( \Leftrightarrow f(x) = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{2}\)

Détail de la technique 1bis :

\(f(x) = 2\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{4}} \right] - 12\)
\( \Leftrightarrow f(x) = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} - 12\)
\( \Leftrightarrow f(x) = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{2}\)

Et voici la forme canonique. Étymologiquement, ce qui est canonique est ce qui suit la règle. Mathématiquement, cette règle est ce qui est naturel. Vous jugerez de l'aspect très naturel de la forme canonique !

Technique 2, plus facile

On se calque sur la formule \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta.\)

\(\alpha\) est la valeur de \(x\) pour laquelle la fonction atteint son extremum. Graphiquement, la droite d'équation \(x = \alpha\) est donc l'axe de symétrie de la parabole représentative de \(f.\)

La formule : \(\alpha = -\frac{b}{2a}\)

Il existe deux façons de trouver \(\beta\). Donc ici aussi nous comparerons deux versions.

Version 1, avec la formule de \(\beta.\)

\(\beta = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\)

Oui, la formule est un peu compliquée... Nous obtenons le calcul suivant :

\(f(x) = 2{\left( {x - \frac{{ - ( - 2)}}{{2 \times 2}}} \right)^2} - \frac{{{{( - 2)}^2} - 4 \times 2 \times ( - 12)}}{{4 \times 2}}\)
\( \Leftrightarrow f(x) = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{2}\)

Version 2

Mais il se trouve que \(\beta = f(\alpha)\). Concrètement, c'est la valeur minimale (si \(a > 0\)) ou maximale (si \(a < 0)\) prise par la fonction \(f.\)

Ainsi, une fois que l'on a déterminé \(\alpha,\) il est plus pratique d'obtenir \(\beta\) en calculant \(f(\alpha)\) à partir de la forme développée de \(f.\)

Ici, \(\alpha = -\frac{-2}{2 \times 2} = \frac{1}{2}\)

\(f(\frac{1}{2}) = 2 \times \frac{1}{4} - 1 - 12 = -\frac{25}{2}\)

 

À partir de la forme canonique

Développement : il est très facile de partir de la forme canonique pour aboutir à l'expression développée.

Factorisation : la forme canonique se factorise grâce à l’identité \(a^2 - b^2\) \(= (a - b)(a + b).\)

Ici, \(f(x)\) \(= 2\left( {x - \frac{1}{2} - \frac{5}{2}} \right)\left( {x - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}} \right)\)
\(\Leftrightarrow f(x) = 2(x - 3)(x + 2).\)

On remarque que si la forme canonique présente une addition et non une soustraction, le polynôme ne peut être factorisé dans \(\mathbb{R}\) puisqu’aucune identité remarquable ne peut être appliquée.

Dernière précision, la forme canonique est la seule des trois écritures dans laquelle \(x\) n'apparaît qu'une seule fois, ce qui la rend plus simple à programmer que les autres.

 

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