Exercices corrigés sur le second degré
Une page d’exercices assez classiques sur le second degré. Ils sont du genre de ceux que les élèves de première générale doivent habituellement résoudre. Ils trouveront aussi des exercices et des problèmes adaptés à leur programme en pages d'équations du second degré, de problèmes sur le second degré et de trinômes paramétrés.
Pour résoudre les exercices suivants, il faut maîtriser le calcul du discriminant et la forme canonique (sinon, faites l'exercice sur fonction du second degré pour vous consoler).
Exercice 1
Soit \({\mathscr{C}_f}\) la parabole représentative de la fonction \(f(x) = x^2 + 3x - 10\) définie sur \(\mathbb{R}.\) Sur quel intervalle \({\mathscr{C}_f}\) se situe-t-elle au-dessus de l’axe des abscisses ?
Corrigé 1
La question revient à chercher le signe du polynôme. En effet, \({\mathscr{C}_f}\) se trouve au-dessus de l’axe des abscisses lorsque \(f(x) > 0.\) Il faut pour cela déterminer la forme factorisée de \(f(x).\) Calculons le discriminant. Rappel : soit \(ax^2 + bx + c = 0,\) alors \(\Delta = b^2 - 4ac.\) Ici, \(a = 1,\) \(b = 3\) et \(c = -10.\)
\(\Delta = 3^2 - 4[1 × (-10)]\) \(= 9 + 40 = 49 = 7^2\)
Le discriminant est positif. C’est la clé d’une belle découverte, celle des deux racines :
\(x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
En l’occurrence, on trouve \(x_1 =-5\) et \(x_2 = 2,\) ce qui permet au passage de poser la forme factorisée de la fonction (non demandé dans l’énoncé) : \(f(x) = (x - 2)(x + 5)\)
On détermine le signe du polynôme : signe de \(a\) de part et d’autre des racines (soit « + » puisque \(a = 1\) et signe contraire entre les racines. Il s’ensuit ce beau tableau de signes :
Donc \(S = ]-\infty\,; -5[ \cup ]2\,; +\infty[\)
Exercice 2
Soit une fonction \(f\) dont voici trois formes différentes…
Forme canonique : \(f(x) = (x + 3)^2 - 4\)
Forme développée : \(f(x) = x^2 + 6x + 5\)
Forme factorisée : \(f(x) = (x + 5)(x + 1)\)
Vous pouvez d’ailleurs vérifier qu’il s’agit bien de la même fonction si le cœur vous en dit.
Quelle forme est la plus pratique pour déterminer en quels points la courbe coupe les axes des abscisses et des ordonnées ? Pour connaître l’extremum et si c’est un minimum ou un maximum ? Pour dresser le tableau de variation de \(f\) ?
Corrigé 2
L’axe des ordonnées est coupé en \(y = 5\) (c’est le \(c\) de la forme développée), tandis que l’axe des abscisses l’est en \(x = -5\) et \(x = -1\) (forme factorisée). L’extremum est le point de coordonnées \((-3\,; 4),\) ce qui est facile à deviner avec la forme canonique. D’ailleurs, vous avez deviné qu’il s’agit d’un minimum puisque \(a\) est positif (forme développée). Enfin, le tableau de variation se construit grâce à la forme factorisée.
Exercice 2 bis
En quels points la courbe \({\mathscr{C}_f}\) représentative de cette même fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^2 + 6x + 5\) croise-t-elle la droite représentative de la fonction affine \(g\) définie par \(g(x) = x + 1\) ?
Corrigé 2 bis
Il faut poser l’égalité entre les deux fonctions.
\(x^2 + 6x + 5 = x + 1\) \(⇔ x^2 + 5x + 4 = 0\)
Ceci nous donne un trinôme qui est la différence entre \(f\) et \(g,\) qu’il faut étudier. Après calcul du discriminant (égal à 9), on trouve les deux racines : -1 et -4. Attention, nous cherchons des points et non des abscisses. Or, \(f(-4)\) ou \(g(-4) = -3\) et \(f(-1)\) ou \(g(-1) = 0.\) Nous en concluons avec certitude que les points cherchés ont pour coordonnées \((-4\,;-3)\) et \((-1\,;0).\)
Pour information, voici l’illustration des exercices 2 et 2 bis :
Exercice 3
(pour première générale, une fois vus les produits scalaires)
Voir l'exercice 2 de la page sur le produit scalaire en géométrie analytique.
Problème
Soit un carré de 49 cm² dans lequel on insère un autre carré de 25 cm², mais incliné de façon à ce qu’il touche les côtés du premier. À quelle distance des angles du grand carré se trouveront les angles du carré intérieur ? (en rouge ci-dessous ; attention l’inclinaison du carré bleu ci-dessous n’est pas forcément exacte).
Corrigé du problème
C’est une application du théorème de Pythagore. Piège : nous ne nous intéressons pas aux carrés mais à l’un des quatre triangles rectangles identiques (en blanc). L’hypoténuse mesure 5 cm puisque c’est la longueur d'un côté du petit carré (soit la racine carrée de 25). Soit \(x\) le deuxième côté du triangle, indiqué en rouge (valeur que l’on cherche). Un côté du grand carré mesure 7 cm (racine carrée de 49). Il s'ensuit que le troisième côté du triangle mesure \((7 - x).\) En vertu du théorème de Pythagore, nous pouvons poser \(x^2 + (7 - x)^2 = 5^2\) et en développant l’identité remarquable nous obtenons l’égalité suivante : \(x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25.\)
Comme d'habitude, on résout une telle équation en plaçant tous les termes du même côté, laissant 0 à droite.
\(2x^2 - 14x + 24 = 0\) \(⇔ x^2 - 7x + 12 = 0\) (cette division par 2 n’a rien d’obligatoire).
Nous devons ensuite démasquer \(\Delta.\) Si tout se passe comme prévu, vous devez trouver 1. Les racines sont 3 et 4 (nous vous laissons là aussi les calculer). Conclusion : les coins du carré intérieur doivent se situer à 3 ou 4 cm des angles du carré extérieur.
