Problèmes liés au second degré (première générale)
Cette page présente quelques problèmes destinés aux élèves de première générale qui débutent généralement leur programme de maths par le second degré. Ils sont suivis des corrigés. Attention, ce sont davantage des explications détaillées que des modèles de rédaction !
Le cours n’est pas particulièrement difficile mais les exercices et plus particulièrement les devoirs à la maison réclament souvent beaucoup de réflexion. Pour résoudre les problèmes ci-dessous, qui sont le prolongement de la page d'exercices sur le second degré, il n’est pas nécessaire d’avoir étudié les dérivées des fonctions du second degré qui arrivent plus tard dans le programme de première.
Problème 1
Quelles sont les dimensions d’un rectangle dont le périmètre est égal à 34 cm et l’aire à 60 cm² ?
Problème 2
Deux entiers naturels ont pour différence 7 et la différence entre leur produit et leur somme est égale à 43. Quels sont-ils ?
Problème 3 (classique !)
Question 1 : soit un square de \(30 × 16\) m. Il est composé d’une ruelle de largeur \(x\) qui fait le tour et, au centre, d’une partie végétalisée. Quelle doit être la largeur de la ruelle pour que son aire soit égale à celle de la partie végétalisée ?
Question 2 : supposons ensuite que la ruelle périphérique soit remplacée par deux allées qui se croisent perpendiculairement. Nous souhaitons toujours deux surfaces égales. Quelle doit être la largeur \(x\) de cette double allée ?
Illustration :
Autres problèmes
Problème 4 (parabole et droite paramétrée)
Voir l'exercice 6 et son corrigé de la page d'exercices sur croisements de courbes.
Problème 5 (avec probabilités)
Problème 1 et son corrigé en page problèmes de probabilités.
Problème 6 (rectangles et nombre d’or)
Problème et son corrigé en page nombre d’or.
Corrigé du problème 1
Soit \(l\) la largeur et \(L\) la longueur du rectangle. On pose un système de deux équations à deux inconnues.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2l + 2L = 34}\\ {l \times L = 60} \end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {l + L = 17}\\ {l \times (17 - l) = 60} \end{array}} \right.\)
Développons la seconde équation : \(17l - l^2 = 60.\) Soit, sous une formulation davantage propice à la résolution d’équations du second degré : \(-l^2 + 17l - 60 = 0.\)
Le discriminant est égal à \(Δ = 289 - (4 × 60) = 49,\) soit le carré de 7. Il est strictement positif. L’équation admet donc deux solutions \(l_1\) et \(l_2.\)
\(l_1\) \(=\) \(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) \(=\) \(\frac{-17 - 7}{-2}\) \(=\) \(12\)
\(l_2\) \(=\) \(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) \(=\) \(\frac{-17 + 7}{-2}\) \(=\) \(5\)
On en déduit la longueur \(L\) soit par un nouveau calcul, soit par un minimum de bon sens. En effet, dans la mesure où le choix de \(l\) et de \(L\) est purement arbitraire, il est évident que si la largeur est de 12 cm, alors sa longueur est de 5 cm et inversement. Nous nous passerons donc d'un nouveau calcul. Les dimensions du rectangle s’établissent à \(12 × 5\) cm.
Corrigé du problème 2
Mine de rien, ce problème est assez proche du précédent dans la mesure où il se résout à l’aide d’un système. Soit \(y\) le plus grand des deux nombres et \(x\) le plus petit.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y - x = 7}\\ {xy - (x+y) = 43} \end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = x + 7}\\ {x(x+7) - x - (x+y) = 43} \end{array}} \right.\)
En développant la seconde équation, on obtient \(x^2 + 5x - 50 = 0.\)
\(Δ = 25 + 200 = 225 = 15^2.\) Il est strictement positif et l’équation admet donc deux solutions.
L’une d’elles est \(\frac{-5 - 15}{2} = -10.\) Cette solution ne peut pas convenir car nous cherchons un entier naturel. L’autre solution est \(\frac{-5 + 15}{2} = 5.\) Donc \(x = 5\) et \(y = 5 + 7 = 12.\)
Corrigé du problème 3
Question 1 : la partie végétalisée a pour surface \((30 - 2x)(16 - 2x).\) Développons cette expression : \(4x^2 - 92x + 480.\)
Pour obtenir l'aire occupée par la ruelle périphérique, il faut ajouter les deux portions en longueur aux deux portions en largeur, tout en prenant soin d’ôter les zones situées aux quatre coins (pour ne pas les compter deux fois) : \(60x + 32x - 4x^2,\) soit \(-4x^2 + 92x.\)
Posons l’équation \(4x^2 - 92x + 480\) \(=\) \(-4x^2 + 92x,\) soit \(4x^2 - 92x + 240\) \(=\) \(0.\)
On trouve \(Δ = 8\,464 - 3\,840\) \(=\) \(4\,624\) \(=\) \(68^2.\) L’équation admet deux solutions.
Leur calcul conduit à \(S = \{3\,; 20\}.\) Or, il est impossible que l’allée mesure 20 m de largeur puisque les dimensions du terrain sont \(30 × 16.\) Par conséquent, la largeur de l’allée doit être de 3 m.
Question 2 : l’aire occupée par les allées croisées est de \(30x + 16x - x^2\) (\(-x^2\) correspond au « carrefour » qu’il ne faut pas compter deux fois). Soit \(-x^2 + 46x.\) La surface du terrain est de \(30 × 16 = 480\) m². Par conséquent, l’aire végétalisée s’établit à \(480 - (-x^2 + 46x),\) soit \(x^2 - 46x + 480.\)
D’où l’équation \(x^2 - 46x + 480\) \(=\) \(-x^2 + 46x\) et donc \(2x^2 - 92x + 480\) \(=\) \(0.\) On trouve encore \(Δ = 68^2.\)
L’équation admet deux solutions, \(S = \{6\,; 40\}\) mais il est impossible que, compte tenu des contraintes, l’allée puisse mesurer 40 m de largeur.
La largeur de l’allée doit donc être de 6 m.
