Grosso modo, la théorie des probabilités est la branche mathématique la plus féconde pour les statistiques univariées tandis que les analyses de données multivariées utilisent plutôt l’algèbre linéaire. Toutefois, la limite entre les deux est assez poreuse (l’analyse discriminante, par exemple, repose sur des règles de décision probabilistes)…

Cette page constitue un rappel du vocabulaire et des principes de base des probabilités. Les applications réelles en entreprise sont plutôt minces, du moins à ce niveau de connaissance particulièrement basique.

Vocabulaire

Une probabilité évalue la possibilité d’un événement aléatoire. Si celui-ci a une chance sur deux de se produire, elle s’établit à 0,5, une probabilité étant un nombre compris entre 0 et 1. « Oui » ou « non » sont alors deux éventualités (ou issues). L’ensemble des éventualités s’appelle un univers des possibles ou espace fondamental. On le nomme habituellement Oméga (Ω). L’épreuve est un concept utilisé pour qualifier l’acte ou l’occurrence qui se traduit par un événement (lancé de dés, tirage de cartes…).

Deux événements sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent survenir en même temps. Si vous lâchez une tartine (épreuve), elle tombe soit du côté pain (événement A), soit du côté confiture (événement B). Formellement : A ∩ B = Ø.

Dans ce cas, B est l’événement contraire de A.

À part le subtil distinguo entre « événement » et « éventualité », ceci n’offre aucune difficulté. Mais un événement n’est pas toujours élémentaire. Si celui-ci est « la prochaine personne qui se trouvera coincée dans l’ascenseur sera une femme », les éventualités peuvent être nombreuses (Denise, Yvette, Claudine…). On retrouve la distinction qui existe entre un ensemble et un élément. D’ailleurs, la théorie des ensembles est souvent le moyen d’amener un cours sur les probabilités.

Lorsque tous les événements ont la même probabilité de survenir, on parle d’équiprobabilité.

La probabilité que l’événement A survienne est notée P(A).

Les propriétés suivantes doivent donc vous sembler évidentes (la seconde est la probabilité de l’événement contraire) :

Additivité

On retrouve les notations de la théorie des ensembles. Si deux événements sont possibles, la formule fondamentale, qui se devine d’ailleurs avec un peu de bon sens, est : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

Le terme soustrait indique qu’on ne compte pas deux fois l’événement où les deux probabilités apparaissent. Ceci devient plus compliqué lorsque plus de deux événements sont possibles : c’est alors la formule de Poincarré qui généralise la formule d’additivité.

Illustrons ceci avec cet extrait tiré de l’épreuve du bac ES 2007 de Nouvelle-Calédonie.

Une machine produit des pièces dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut A et le défaut B, à l’exclusion de tout autre défaut. (…) 28% ont le défaut A, 37 % ont le défaut B et 10 % ont les deux défauts. (…) Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?

La réponse est évidemment 0,28 + 0,37 – 0,10 = 0,55 (une autre réponse possible aurait été de conseiller l’envoi d’une telle machine à la casse mais on aurait bêtement perdu 1 point sur l’épreuve…).

La suite de l’exercice s’intéresse aux seules pièces n’ayant qu’un défaut. Les probabilités sont disjointes. Nous allons poursuivre l’exploration de cet exemple pour découvrir quelques amusements supplémentaires.

On admet que 40 % de ces pièces ont seulement le défaut A et que 60 % de ces pièces ont seulement le défaut B. (…) 40 % des pièces qui ont le défaut A sont réparables et 30 % des pièces qui ont le défaut B sont réparables. On choisit une pièce au hasard.

L’énoncé demande ensuite de nommer les événements (A si défaut A, B si défaut B et R si réparable) et de tracer un arbre pondéré, ce qu’on ne fera pas ici.

A et B forment une partition de l’univers des possibles. Une telle partition peut naturellement se constituer de plus de deux événements.

Calculer la probabilité de l’événement « la pièce choisie a le défaut A et est réparable ».

On sait que 40 % des pièces ont le défaut A et, parmi ces dernières, 40 % sont réparables. La probabilité cherchée est donc de 0,4 × 0,4 = 0,16.

Probabilités totales

Calculer la probabilité de l’événement « la pièce choisie est réparable ».

Il s’agit de trouver une probabilité totale, ce total étant la somme des probabilités des événements où la pièce est réparable :

On a calculé le premier terme à la question précédente (0,16), on fait maintenant la même chose pour le second (0,3 × 0,6 = 0,18). L’addition des deux nous permet d’affirmer que la probabilité qu’une pièce est réparable s’établit à 0,34 (et accessoirement que le responsable de la qualité ferait mieux de livrer des pizzas).

Probabilités conditionnelles

Une probabilité est conditionnelle si elle est calculée « à condition » qu’un événement survienne. Dans une épreuve du bac, la probabilité est très forte pour que la formule ci-dessous doive être écrite si l’énoncé commence par « sachant que… » :

Sachant que (tiens, je vous l’avais bien dit !) la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu’elle ait le défaut A.

Ne soyez pas rebuté pat le côté irréel d’une telle question, les probabilités conditionnelles ouvrent un champ particulièrement fécond et opérationnel aux statistiques (notamment par le théorème de Bayes).

La réponse à la question est 0,16 / 0,34 = 8 / 17.

La fin de cet exercice est traité en page probabilités indépendantes.

Loi de probabilité

Lorsqu’on associe une probabilité à chaque événement (ou enchaînement d'événements) et que ceux-ci sont incompatibles, la somme des probabilités étant donc égale à 1, cette mesure est appelée loi de probabilité. Certaines sont faciles à résumer sous forme de tableau. Supposons un autre exemple...

Bien souvent, de telles lois établies après une longue observation sont remplacées par des lois théoriques qui permettent de dépasser cet aspect purement descriptif grâce à leurs propriétés. Les cas ne manquent pas sur ce site pour montrer les bienfaits des modélisations ! Concrètement, c'est à partir d'un test d'adéquation qu'on s'autorise ou non ce tour de passe-passe (khi², Kolmogorov-Smirnov ou autre...).