Représentations des issues possibles
Comment représenter les différentes issues possibles d’une expérience aléatoire, c’est-à-dire incertaine quant au résultat ? C’est en répondant à cette pertinente question que le chapitre sur les probabilités est abordé en classe de seconde.
L'univers
L’ensemble des issues possibles est appelé univers. L’univers d'une expérience aléatoire est infini si l’issue est une valeur réelle ou plus généralement si l’expérience peut admettre une infinité d’issues. Il est alors représenté sous forme d’intervalle (programmes de terminale). Mais ici, nous ne nous intéresserons pas à cette situation. Seuls les univers finis feront l’objet de toute notre attention.
Habituellement, un univers est nommé \(Ω\) (oméga majuscule).
Les issues
L’ensemble des issues possibles doit être indiqué entre accolades, chacune étant séparée des autres par un point-virgule. Ainsi, le lancer d’une pièce de monnaie a pour issue soit pile soit face. Cette expérience aléatoire comporte donc deux issues et l’univers fini est \(Ω = \{P\,; F\}.\)
Cependant, l’évènement qui résulte d’une expérience aléatoire peut comporter deux issues. Ainsi, l’expérience qui consiste à lancer deux pièces de monnaie (ou la même pièce deux fois de suite) se note \(Ω\) \(=\) \(\{PP\,; PF\,; FP\,; FF\}.\)
Cet exemple est très simple et le résultat s'écrit directement entre accolades parce que le nombre d’issues est faible. Cependant, les possibilités d'évènements peuvent être nombreuses et il est alors préférable d’utiliser un tableau pour ne pas en oublier en chemin.
Les tableaux
L’exemple typique est celui du lancer de deux dés. Si l’évènement est tout simplement la suite des deux faces obtenues, le tableau ressemble à ceci :
Du moment que vous présentez le tableau, il est rare que l'on vous demande aussi d’écrire tous les évènements entre accolades. Il suffit d’écrire :
\(Ω\) \(=\) \(\{(1\,; 1),(1\,; 2),…,(6\,; 6)\}\)
Si c’est à la somme des deux faces que vous vous intéressez, le tableau devient ceci :
Ici, toutes les cases ne sont pas à reprendre pour définir l'univers puisque des valeurs sont présentes plusieurs fois. Il n’y a pas 36 issues mais seulement 11.
\(Ω\) \(=\) \(\{2\,;\) \(3\,;\) \(4\,;\) \(5\,;\) \(6\,;\) \(7\,;\) \(8\,;\) \(9\,;\) \(10\,;\) \( 11\,;\) \(12\}\)
Par la suite, cette présentation permettra d’établir une loi de probabilité.
Si vous souhaitez vous entraîner sur les tableaux, rendez-vous en page d'exercice de seconde sur les probabilités.
Les arbres
Il peut être plus pratique d’utiliser un arbre de dénombrement plutôt qu’un tableau. Lorsqu’un évènement est une suite de deux issues, le tableau peut être remplacé par un arbre, surtout si les issues sont peu nombreuses où s’il y a un ordre entre elles. Mais dans le cas du lancer de deux dés, il y a trop d’issues possibles pour représenter l’univers sous forme d’arbre (six branches qui se transforment chacune en six autres branches), bien que certains profs de maths n’hésitent pas à soumettre leurs élèves à cette torture. En revanche, lorsqu’il y a plus de deux issues pour former un évènement, rien n’est aussi pratique que de tracer un arbre.
Supposons qu’une épreuve consiste en un quadruple lancer de pièce. Il est simple de représenter un arbre qui comporte quatre niveaux de branches qui se partagent toutes en deux (puisqu’il y a chaque fois deux issues possibles, pile ou face).
Illustrons avec un autre exemple. Un couple souhaite avoir trois enfants (on admet qu’il n’y aura pas de jumeaux). Toutes les combinaisons possibles de sexes peuvent être décrites par un arbre de dénombrement.
Ainsi un arbre peut modéliser un nombre important de tirages successifs.
Remarque : l'arbre se présente soit verticalement et il se lit de haut en bas, soit horizontalement comme ci-dessus et il se lit de gauche à droite (présentation beaucoup plus fréquente).
Probabilités
L’intérêt de ces deux représentations, tableau ou arbre, est manifeste dès que l’on cherche à déterminer des probabilités.
En situation d’équiprobabilité, elles suffisent même à répondre aux questions susceptibles d'être posées puisqu’il suffit de compter les branches. Exemple : quelles sont les chances d’avoir trois filles ? Réponse : une chance sur huit. En effet, l’arbre possède huit « feuilles » (à droite) mais une seule d’entre elles correspond à \((F,F,F).\)
Autre question : sachant que le premier enfant est une fille, quelle est la probabilité d’avoir deux autres filles ? Réponse : \(P = \frac{1}{4}\) car on ne compte pas le nombre total de possibilités mais seulement celles qui partent du premier enfant \(F.\) C’est une condition connue a priori. Ce type de problème fait partie des programmes de première et de terminale (c'est le conditionnement).
Généralement, vous n’aurez pas à travailler sur des situations d’équiprobabilité et vous aurez soit à remplir un tableau avec des effectifs avant d'établir la loi de probabilité (voir l'initiation aux probabilités) soit à utiliser des arbres pondérés.
