En théorie, le sujet est simple. Les arbres de probabilité sont maintenant abordés dès la classe de troisième. D'ailleurs, je me cantonnerai ici au niveau de l'enseignement secondaire. En pratique, ces éléments de la théorie de la décision sont bien sûr plus complexes. Leur élaboration nécessite des études ou des avis d’experts (pouvant être collectés par méthode Delphi) afin d’affecter des probabilités aux diverses éventualités.

Un arbre pondéré est un graphe orienté. On part d’un « sommet » qui se partage en deux ou plusieurs branches primaires représentant les éventualités probabilisés d’un même événement. Celles-ci forment une partition des possibles (en clair, somme des probas = 1). Le poids d’une branche primaire est la probabilité de l’événement qu’elle indique.

Une branche primaire nous conduit à un autre sommet (ou « nœud »), partage entre des branches secondaires. Même principe de partage de l’univers des possibles. Le poids d’une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l’événement qu’elle représente et ainsi de suite s’il existe des branches tertiaires (ainsi, un arbre pondéré permet de visualiser des applications du théorème de Bayes).

Le poids d’un chemin, du sommet jusqu’à la « feuille », est le PRODUIT des probabilités qui le composent. La probabilité d’un événement associé à plusieurs feuilles est la SOMME des probabilités associées aux différents trajets qui y mènent (formule des probabilités totales).

L’ordre des éventualités est guidé par une chronologie, une logique ou par la connaissance ou non qu’on a de certaines probabilités. Une arboresence permet de visualiser un tableau à n dimensions. En cas de probabilités indépendantes, l'intérêt d'un arbre est limité puisqu'on reproduit toujours les mêmes partages.

Exemple 1 (arbre et tableau) extrait de l’épreuve de maths du bac S 1999 pour l’Asie.

Voici le tableau de répartition des principaux groupes sanguins des habitants de la France :

Le sujet imposait l’ordre d’un arbre (facteur rhésus d’abord, groupe ensuite) que le candidat devait compléter au fil des questions. Les probabilités associées aux deux premières branches s’obtiennent par somme (0,821 = 0,35 + 0,381 + 0,062 + 0,028). Pour la seconde branche, on considère que chaque rhésus vaut 100 % et, par une « règle de trois », on détermine les proportions de chaque groupe sanguin.

On vérifie que la somme des probabilités de chaque sommet est bien égale à 1.

Exemple 2 (arbre et probabilités totales) extrait de l’épreuve de maths du bac ES 2007 pour l’Asie.

Un automobiliste rencontre successivement deux feux tricolores, le second étant réglé en fonction du premier. L’arbre est donné dans l’énoncé (V1 signifie « le premier feu est vert », O2 signifie « le second feu est orange », etc.) et il commence fort logiquement par le premier feu.

Quelle est la probabilité que l’automobiliste rencontre les deux feux au vert ?

Réponse : P(V1 ∩ V2) = (3 / 4) × (5 / 12) = 5 / 16.

Quelle est la probabilité que le deuxième feu rencontré par l’automobiliste soit au vert ?

P(V2) = P(V1 ∩ V2) + P(R1 ∩ V2) + P(O1 ∩ V2). La première vient d’elle calculée, la troisième est nulle et la deuxième est égale à ½ × ⅞. La réponse à la question est 0,75.

Si les feux n'avaient pas été synchronisés, nous nous serions trouvé dans une situation de probabilités indépendantes, c'est-à-dire que chaque noeud aurait été partagé de la même façon.

Exemple 3 (arbre et probabilités conditionnelles) tiré de l’épreuve de France métropolitaine 2006 (bac ES).

La médiathèque d’une université possède des DVD de deux provenances, les DVD reçus en dotation et les DVD achetés. Par ailleurs, on distingue les DVD qui sont de production européenne et les autres. On choisit au hasard un de ces DVD.

L’énoncé fournissait un arbre incomplet (D signifie dotation et U signifie production européenne) :

On donne, de plus, la probabilité de l’événement U : P(U) = 0,7625. Donner la probabilité de U sachant D.

Réponse : la belle affaire ! Il suffit de lire l’arbre et de répondre « 0,65 ».

Calculer la probabilité que le DVD ait été acheté.

Encore un cadeau : 1 – 0,25 = 0,75.

Calculer la probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne.

P(D ∩ U) = P_D(U) × P(D) = 0,65 × 0,25 = 0,1625.

Montrer que la probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de production européenne est égale à 0,6.

Probabilités totales : P(U) – p(D ∩ U) = 0,6.

Sachant que le DVD choisi a été acheté, calculer la probabilité qu’il soit de production européenne.