Nombre d'or : exercice et propriétés
Le nombre d’or ou, pour reprendre l'expression de Pacioli, la divine proportion : un nom bien mystérieux pour désigner un réel un peu particulier qui permet de modéliser aussi bien une spirale d’escargot que l’agencement des graines d'un tournesol. Il a aussi été utilisé en architecture, en particulier au cours de l’ancien Empire égyptien, à l’époque grecque classique et au vingtième siècle. Mais on l’assaisonne aussi de sauces bizarres pour lui faire dire un peu n’importe quoi, générant quelques théories fumeuses. Ce qui est certain, c’est qu’il est le résultat d’une équation de laquelle découle un ensemble de propriétés mathématiques.
Présentation
Présentons sans plus attendre ce nombre irrationnel. On l’écrit habituellement avec la lettre grecque phi (\(\varphi\)).
\[\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618034\]
Problème (niveau première générale)
Un moyen de découvrir ce nombre est de travailler sur le rectangle d’or dont les proportions sont fondées dessus. Pour qu’il soit labellisé « d’or », le rectangle doit vérifier la propriété suivante visible sur la figure ci-dessous :
Le grand rectangle (bleu et rouge) est composé d’un carré bleu et d’un petit rectangle rouge qui possède exactement les mêmes proportions que lui (rectangles semblables).
Si \(L\) est la longueur du grand rectangle et \(l\) sa largeur, on a donc la proportion \(\frac{l}{L}\) qui est égale à la proportion du rectangle rouge \(\frac{L - l}{l}.\) Il faut trouver le nombre d’or \(\varphi ,\) égal à \(\frac{L}{l}.\)
Voyons cela...
\(\frac{l}{L} = \frac{L - l}{l}\)
\(\Leftrightarrow \frac{l}{L} = \frac{L-l}{l} - 1\)
Multiplions tout par \(\frac{L}{l}.\)
\(1 = \left(\frac{L}{l} \right)^2 - \frac{L}{l}\)
Par conséquent, ceci revient à chercher les racines du trinôme \(\varphi ^2 - \varphi - 1.\)
Le discriminant est égal à \(1 - (-4) = 5.\) Comme il est positif, il existe deux solutions à l’équation \(\varphi ^2 - \varphi - 1\) \(=\) \(0.\)
\(\varphi_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\) et \(\varphi_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.\)
Comme \(\varphi_1 < 0,\) il ne peut être solution du problème. Donc le nombre cherché est bien le nombre d’or.
Ci-dessous, un timbre japonais nous offre une autre illustration géométrique.
Curiosité mathématique
Soit la suite de Fibonacci, où chaque terme est la somme des deux précédents :
\(u_0 = 0\,;\) \(u_1 = 1\,;\) \(u_{n+1} = u_n + u_{n-1}\)
La limite de cette suite est évidemment infinie mais la limite de \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) tend quant à elle vers le nombre d’or. Voir l'illustration avec Excel sur la page consacrée à la suite de Fibonacci.
Le nombre d'or est aussi la limite de la suite définie par une équation de récurrence d’ordre 1 :
\(u_0 = 0\,;\) \(u_{n+1} = \sqrt{1 + u_n}\)
Ceci est parfaitement logique dans la mesure où si l’on élève au carré les deux membres de l’équation on retrouve notre trinôme (à l’infini, \(u_n = u_{n+1} = \varphi\)). Conséquence :
\(\varphi = \sqrt{1 + \varphi}\) donc \(1,618034... = \sqrt{2,618034...}\)
Si au contraire on divise les deux membres de l’équation par \(\varphi,\) on obtient évidemment ceci :
\(\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}\) donc \(\frac{1}{1,618034...} = 0,618034...\)
On pourrait multiplier les égalités qui de prime abord semblent étranges mais qui sont simplement liées entre elles par le trinôme.
Finance
Il existe une théorie descriptive et prévisionnelle de l’évolution des prix sur les marchés financiers dans laquelle le nombre d’or tient une place importante : les vagues d’Elliott. Il s’agit d’une méthode qui n’a rien de scientifique mais qui connaît un certain succès, surtout depuis le krach de 1987.
