Propriétés de la suite de Fibonacci
Leonardo Pisano Bigollo fut l’un des rares mathématiciens de l’Occident médiéval. Il fut surnommé Fibonacci en 1828, presque quatre siècles après sa mort, et c’est sous ce nom qu’il est célèbre aujourd’hui.
Fibonacci
Pour situer l’importance du personnage, sachez que c’est lui qui a introduit en Occident les chiffres indo-arabes que nous utilisons aujourd’hui ainsi que le zéro, qui n’était jusqu’alors pas exprimé comme tel, et même le système de notation décimal. Système infiniment plus pratique que les chiffres romains pour poser des opérations !
Après avoir beaucoup voyagé, il s'est établi dans sa ville de Pise et a compilé les savoirs mathématiques de l’époque, principalement grecs, arabes et indiens.
Dans son œuvre majeure, le Liber abaci, Fibonacci traite d’un problème de reproduction de lapins. Un problème comme tant d’autres, déjà connu dans l'Antiquité, tombé dans l’oubli avant de réapparaître au dix-neuvième siècle avec un succès qui ne s’est jamais démenti depuis, tant les propriétés qui s'y cachent sont nombreuses et… curieuses.
Les lapins
Le titre du problème : « combien de couples de lapins sont créés par un couple en un an ». Il s’agit d’un exercice particulièrement théorique où un couple ne produit que des portées de deux lapereaux, un mâle et une femelle. Donc un couple fertile supplémentaire, qui devient adulte à l’âge de deux mois. Aucun lapin ne meurt.
Le premier mois, nous n’avons qu’un seul jeune couple, plein d’avenir. Le deuxième mois également et madame lapine se prépare à sa première portée. Le troisième mois, naissance. Donc, deux couples. Le quatrième mois, trois couples puisque les parents ont une deuxième portée tandis que la première est trop jeune pour se reproduire. Le cinquième mois, cinq couples puisque les parents, désormais grands-parents, ont une nouvelle portée, que leurs premiers enfants ont une première portée et que la deuxième portée des grands-parents n’est pas encore en âge de procréer.
Nous n’allons pas vous fatiguer en détaillant ce qui se passe chaque mois de l’année mais le nombre de couples de lapins suit la progression suivante : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… Les valeurs prises par cette suite sont appelées nombres de Fibonacci. On les retrouve dans un grand nombre de domaines, y compris sur les marchés financiers (voir les vagues d'Elliott).
Et là, on réalise qu'il y a une astuce. Chaque terme de la suite est la somme des deux précédents : \(u_0 = 0,\) \(u_1 = 1,\) \(u_{n+1} = u_n + u_{n-1}\).
Limites
Il est évident que la suite est croissante et que sa limite est infinie. Ce n’est pas une suite arithmétique.
Ce n’est pas non plus une suite géométrique mais si l’on divise chaque terme avec le précédent, on remarque que l’on tend asymptotiquement vers une certaine valeur. Constatons-le avec Excel :
Cette valeur n’est autre que \(\phi,\) le nombre d’or.
Une propriété parmi tant d’autres…
Soit \((u_n)\) la suite de Fibonacci. La somme des \(n\) premiers termes de la suite est égale à \(u_{n+2} - 1.\)
Par exemple, la somme des six premiers termes est égale à \(1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8\) soit 20. Or \(u_8 = 21\) et \(21 - 1 = 20.\)
Démonstration.
\(u_1 + u_2 = u_3\)
\(u_2 + u_3 = u_4\)
...
\(u_n + u_{n+1} = u_{n+2}\)
Donc la somme de tous les premiers membres de ces égalités est égale à la somme de tous les seconds membres de ces mêmes égalités.
\(u_1\) \(+\) \(u_2\) \(+\) \(u_2\) \(+\) \(u_3\) \(+\) \(u_3\) \(+\) … \(+\) \(u_n\) \(+\) \(u_{n+1}\) \(=\) \(u_3 + u_4 + … + u_{n+2}\)
Ne laissons que \(u_{n+2}\) dans le second membre.
\(u_1\) \(+\) \(u_2\) \(+\) \(u_2\) \(+\) \(u_3\) \(+\) \(u_4\) \(+\) … \(+\) \(u_n\) \(=\) \(u_{n+2}\)
On remarque que dans le premier membre, nous n’avons plus qu’une somme des termes de la suite jusqu’à \(u_n\) mais que \(u_2\) est en double. Nous savons aussi que \(u_2 = 1.\)
\(u_1\) \(+\) \(u_2\) \(+\) \(u_3\) \(+\) \(u_4\) \(+\) … \(+\) \(u_n\) \(=\) \(u_{n+2} - 1\)
CQFD. La somme des \(n\) premiers termes de la suite est égale à \(u_{n+2} - 1.\)
Propriété des multiples
Comme 2 est le troisième terme, la suite contient un multiple de 2 tous les trois termes. De même elle contient un multiple de 3 tous les quatre termes, un multiple de 5 tous les cinq termes, un multiple de 8 tous les six termes et ainsi de suite.
Par ailleurs deux nombres de Fibonacci consécutifs sont toujours premiers entre eux.
Autres propriétés
La somme des \(n\) premiers termes occupant un rang pair est égale à \(u_{2n+1} - 1.\) La somme des \(n\) premiers termes occupant un rang impair est égale à \(u_{2n+1}.\)
Soit par exemple \(n = 3\) et nous nous intéressons aux rangs pairs. Nous avons \(u_2 + u_4 + u_6\) \(=\) \(1 + 3 + 8\) \(=\) \(12.\) Ici, \(u_{2n+1}\) est \(u_7,\) donc 13. Et \(13 - 1 = 12.\)
Enfin, visitez par curiosité la page qui traite du triangle de Pascal...
