Les séries numériques

Introduction aux séries numériques réelles

Vous savez sans doute ce qu’est une suite. Alors que, dans le secondaire, on utilise le terme de fonction numérique lorsque celle-ci est définie sur un intervalle de réels, la suite numérique n’est définie que pour des entiers naturels (mais une suite est une fonction). Ces suites s'offrent à nous sous divers aspects : par une formule explicite, par une relation de récurrence, par une sommation... Cette dernière forme, assez particulière, prend le nom de SÉRIE…

Ainsi, une série apparaît comme la suite de sommes partielles des termes d’une suite. Une mise en abyme que l’on peut exprimer ainsi, à partir d'une suite \((u_n)\) : \(S_0 = u_0,\) puis \(S_1 = u_0 + u_1,\) puis \(S_2 = u_0 + u_1 + u_2\) et ainsi de suite. Une série apparaît ainsi comme une somme infinie. Bien que ce terme ne soit pas au programme du secondaire, des lycéens peuvent rencontrer une série à la faveur d'un exercice sur les sommes de termes d'une suite.

 

Convergence et divergence

LA grande question que l’on se pose lorsqu’on étudie une série est de savoir si elle converge ou si elle diverge (sur les suites en général, petite remémorisation en page limites de suites).

Une série est convergente si :

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = \sum\limits_{n = {n_0}}^{ + \infty } {{u_n}} \]

Soit \(S\) la somme infinie des \(u_n.\) La différence entre \(S_n\) et \(S\) est appelée le reste. Si celui-ci devient de plus en plus minuscule au fur et à mesure que \(n\) s'accroît, c'est bien sûr que la série converge. Et donc la suite aussi. Note : à l'infini, le terme général d'une série convergente doit tendre vers zéro mais cette condition ne suffit pas.

Si la série ne converge pas, il est inutile de chercher à calculer la somme des \(n\) premiers termes. \(u_n,\) c'est-à-dire \(S_n - S_{n-1},\) ne tend pas vers zéro dans la course de \(n\) à l'infini et il faut alors accepter la sinistre vérité : notre série diverge...

 

Les séries géométriques

Soit la série suivante :

\[{S_n} = \sum\limits_{n \geqslant 0} {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}} \]

Et soit un petit rafraîchissement de mémoire :

\[S_n = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\]

Si besoin, voir la page sur la somme de termes d'une suite géométrique.

\((S_n)\) est-elle convergente ? On se doute que oui puisque c’est la somme d’une suite convergente. Mais voyons vers quelle valeur. En appliquant l’expression de la somme d’une suite géométrique ci-dessus rappelée, on peut écrire…

développement

On voit dès lors que la série converge vers 4.

En d’autres termes, \(1 + \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + ...\) est presque égal à 4. Une vérification sur tableur ne vous prendra que quelques secondes.

Au-delà de cet exemple, une série de ce type \(q^n\) est dite géométrique et converge toujours vers \(\frac{1}{1 - q}\) lorsque \(|q| < 1.\)

L’expression de sa dérivée est \(\sum\limits_{n \geqslant 1} {n{q^{n - 1}}} \)

Elle converge si \(|q| < 1,\) en l’occurrence vers \(\frac{1}{(1-q)^2}.\) Idem pour la dérivée kème :

dérivée kième

 

La série harmonique

Reprenons aussi l'exemple que bon nombre d'ouvrages exposent en début de chapitre sur les séries.

\(S_n\) \(= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}\)

Y a-t-il convergence ? Ici, l'idée n'est pas d'utiliser le reste mais \(n\) et \(2n.\) À l'infini, ça ne change pas grand chose puisque si cette différence tend vers zéro, c'est bien que la série converge... Oui mais voilà, elle ne tend pas vers zéro.

La différence entre \(S_n\) et \(S_{2n}\) n'est autre que la somme des inverses depuis \(n + 1\) jusqu'à \(2n.\) Donc...

\(S_{2n} - S_n\) \(= \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{2n}\)

C'est une addition de \(n\) termes dont le plus petit est \(\frac{1}{2n}.\) Donc, cette addition est supérieure à \(n \times \frac{1}{2n},\) ou tout simplement... 0,5.

Note : cette série sert également d'exercice en page inégalité de la moyenne.

 

Les séries exponentielles

\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{x^n}}}{{n!}}} \]

Elles convergent toujours vers \(e^x.\)

 

Les séries des premiers carrés, cubes...

Voir la page sommes de premiers entiers.

 

Les séries de Riemann

\[\sum\limits_{n \geqslant 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^\alpha }}}} \]

… et \(u_0 = 0.\) Une série de Riemann converge si \(\alpha\) est strictement supérieur à 1.

Les séries à termes positifs : une série \(Su_n\) est dite « à termes positifs » si, quel que soit \(n,\) \(u_n > 0.\)

 

Opérations algébriques sur séries convergentes

À l’instar des suites, si deux séries convergent, leur somme converge également, d’où :

\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {({u_n} + {v_n}) = } \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{u_n} + } \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{v_n}} \]

Une série convergente ne change pas ses habitudes lorsqu’elle est multipliée par un nombre réel non nul (scalaire) :

\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {(\lambda {u_n}) = \lambda } \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{u_n}} \]

Cette malheureuse page étant anormalement envahie de formules, nous en resterons là.

 

hors-série