Le théorème de l’inégalité de la moyenne, enseigné entre autres en terminale S, est le bienvenu pour résoudre quelques problèmes d’encadrement. Et justement, le voici :

Pourquoi un tel nom ? Il suffit de diviser les membres de cette inégalité par (b – a) pour le comprendre. On obtient, au centre de l’inégalité, la moyenne  μ  de la fonction sur l’intervalle et donc m ≤ μ ≤ M.

Donc, si l’on peut encadrer une fonction, on peut encadrer son intégrale sur un intervalle donné.

À quoi ce théorème peut-il bien servir ? Deux exemples devraient permettre d’en savoir davantage…

Exemple 1 : étude d’une suite définie par une intégrale

L’objectif consiste à étudier la limite de la suite suivante :

Une première étape consiste à étudier la fonction f(x) = ln x / x. Son domaine de définition est R⁺. Elle est négative sur ]0 ; 1[, nulle en 1 et positive au-delà. À droite de zéro, la limite est moins l’infini et à l’infini, elle est nulle (Cf. croissances comparées). Son tableau de variation est le suivant (les étapes qui ont permis son établissement figurent en page manipulation des logarithmes et exponentielles).

La suite sera étudiée à partir de n = 3. L’illustration ci-dessous montre bien ce que nous sommes en train de faire : nous déterminons vers quelle surface tend la suite d’aires jaunes et vertes. On se doute vaguement que nous nous orientons vers une aire nulle…

Encadrons à présent u_n. Pour tout réel compris entre n et n + 1, la fonction est positive et décroissante, donc :

C’est à ce moment crucial qu’apparaît le théorème. Comme b – a = 1, on obtient rapidement le résultat suivant…

Comme à l’infini (ln n / n) tend vers 0, la suite converge vers 0 par application du théorème d’encadrement.

Exemple 2 : étude d’une série

Soit la série harmonique.

Montrer que...

Puis en déduire que S_n+1 ≤ ln(n + 1) ≤ S_n.

Pour tout x > 1, la fonction inverse est continue et strictement décroissante. Du coup, si x est compris entre n et n + 1, on a…

Appliquons le théorème de l’inégalité de la moyenne sur cet intervalle de 1…

Rappelons qu’une primitive de la fonction inverse est la fonction logarithme népérien. Il ne reste qu’à réécrire l’inégalité qu’il fallait démontrer pour parfaire l’ensemble :

On déduit facilement de ceci que ln(n + 1) ≤ S_n. Reprenons l’inégalité qu’il fallait démontrer : on voit que pour avoir S_n à droite, il faut additionner membre à membre tous les inverses de 1 à 1 / n. Forcément, on fait la même chose avec le terme du milieu et l’on obtient ln(n + 1) – ln 1 (tous les termes intermédiaires s’annulent puisqu’ils figurent une fois en addition et une fois en soustraction). Comme ln 1 = 0, on a démontré l’inégalité ln(n + 1) ≤ S_n. On procède aux mêmes opérations pour montrer que ln(n + 1) ≥ S_n+1.