Souvenez-vous, c’était en 1614. Oui, je sais bien que vous n’étiez pas né ! C’est à vos souvenirs de cours d’histoire que je pense ! Cette année-là, donc, Marie de Médicis convoquait les États-Généraux, Pocahontas se mariait et Le Greco s’éteignait à Tolède. Mais surtout, l’Écossais John Napier publiait la première table des logarithmes sans se douter de la portée phénoménale qu'elle aura par la suite.

Bon, après ce petit préambule de culture générale, je vous propose une page introductive sur la fonction logarithme népérien (le nom de Napier ayant été déformé en Neper).

Si x est un nombre réel strictement positif, il existe un nombre y tel que exp (y) = x. Ce réel est appelé « logarithme népérien » de x. Il est noté ln x (au siècle dernier, on le notait plutôt Log x).

Fonction logarithme

Cette fonction est strictement croissante, continue sur son ensemble de définition qui est l'ensemble des réels strictement positifs, sa dérivée est la fonction inverse (et donc 1 / x admet pour primitive ln |x| + c), sa limite en 0⁺ plonge dans les ténébreuses profondeurs de moins l’infini, sa limite en plus l’infini se perd dans l'immensité cosmique de plus l’infini, ln 1 = 0 et ln e = 1 (e étant environ égal à 2,718).

Illustration : ci-dessous figurent les courbes représentatives de la fonction logarithme népérien (en rouge) et de sa réciproque, la fonction exponentielle (en bleu). La première se situe partout sous sa tangente, la seconde partout au-dessus. Réalisation sur Sine qua non.

On remarque que ∀ x > -1, ln (x + 1) ≤ x.

Propriétés algébriques

La principale propriété est gravée dans le marbre :

On en déduit d’autres propriétés tout aussi « magiques » (thème développé en page initiation aux logarithmes) :

Ces propriétés sont directement opérationnelles. Si un capital est placé à un taux fixe de 2 % (et que les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts), au bout de combien d’années aura-t-il doublé ? On pose (1,02)ⁿ > 2, donc n ln 1,02 > ln 2 et n > 35 ans. Voir un autre exemple d'utilisation en page moyenne géométrique.

Croissances comparées

Pour lever l'indétermination de limites, on doit penser que le x « l’emporte » sur ln x

...et a fortiori lorsque x est élevé à une puissance entière. Ainsi, pour tout n entier naturel non nul :

Mentionnons enfin la limite suivante, dont la preuve apparaît en page calculs de limites avec développement limité :

Dérivation de fonctions composées

Si u est une fonction positive et dérivable, la dérivée (ln u)’ est égale à u’ / u (nommée dérivée logarithmique) et bien sûr une primitive de u’ / u est ln |u|.

Développements limités

Le développement de Mc Laurin de ln x est moins « usuel » que celui de ln (x + 1).

Vous l'aviez sans doute deviné, pour obtenir le développement de ln x, il suffit de remplacer les x de cette formule par des (x – 1).

Échelle logarithmique

Il est parfois pratique d’utiliser un quadrillage spécial pour transformer les graphiques. L’écartement entre les valeurs des ordonnées ne suit pas une règle arithmétique mais correspond aux logarithmes népériens ou, plus souvent, décimaux de y. Le but est d'observer plus facilement les variations.

Voir à cet égard comment la page échelle logarithmique peut vous faire gagner de l'argent !

Pour aller plus loin...

Exercices : voir page exercices avec exponentielles et logarithmes.

Régression : voir page régression sur tendance logarithmique.