Capitalisation et actualisation
Tout le monde devrait savoir jongler dans tous les sens avec les intérêts composés. C’est même l’un des rares chapitres de mathématiques enseignés dans certaines filières du secondaire qui permet des applications concrètes dans la vie courante, du moins si l'on se préoccupe de son argent… Il est systématiquement enseigné à la suite de l'intérêt simple. Voir la page d'initiation aux calculs d'intérêts.
Le principe
Un intérêt est dit composé lorsqu’il rapporte lui-même des intérêts une fois qu’il a été versé (étant entendu qu'un versement ne représente pas obligatoirement un flux, Cf. certaines obligations remboursées in fine).
Ainsi, un capital de 100 placé à \(10\%\) permet de bénéficier de 110 en fin de première année et de \(110 × 1,1 = 121\) (et non pas 120) en fin de deuxième année. Le calcul est celui d'une suite géométrique de premier terme 100 et de raison 1,1 ou, pour employer un terme moins mathématique, d'accroissements successifs identiques. Si en plus on verse un même apport tous les ans, le montant de l'investissement suit une progression arithmético-géométrique.
Les valeurs successives d'un placement à intérêts composés sont particulièrement simples à obtenir et font souvent l'objet d'exercices de maths en classe de première (voir les suites géométriques avec Excel et les exercices d'évolutions de suites avec calculatrice).
Soit \(i\) le taux d'intérêt composé. Au bout de \(n\) périodes, on a acquis \(V_n = V_0 (1 + i)^{n}.\) C’est le principe de capitalisation, c'est-à-dire que les intérêts deviennent du capital. \(V_n\) est la valeur acquise.
La valeur actuelle
Inversement, la somme à placer en date 0 pour obtenir un certain capital à une date \(n\) est appelée valeur actuelle.
L’actualisation est une notion moins immédiate. C'est l'opération inverse de la capitalisation puisqu’on remonte dans le temps. Elle est obtenue par la formule \(V_0 = V_n (1 + i)^{-n}.\) Une valeur actuelle est d'autant plus élevée que le nombre de périodes est grand et que le taux d'intérêt \(i\) est faible. Voir exemples en page d'annuités.
Bien souvent, la problématique ne se pose pas en ces termes. Il n'y a pas de taux défini. On suppose que l'agent économique est rationnel et qu'il préfère recevoir une somme d'argent aujourd'hui que percevoir la même somme plus tard. Dans quelle mesure ? Il existerait un coefficient, propre à chaque individu, qui ramènerait chaque valeur future à la valeur actuelle. Bien sûr, la conversion serait d'autant plus forte que ce versement serait éloigné dans le temps. Plus précisément, l'importance de cette actualisation ne s'accroîtrait pas de façon arithmétique au fur et à mesure que l'horizon temporel s'éloigne mais de façon géométrique. D'où l'idée d'un coefficient. Celui-ci s'obtient à l'aide d'un taux d'actualisation \(k\) (donc, coefficient \(= 1 + k\)), ce qui a pour conséquence pratique une correspondance parfaite avec la formule qui utilise le taux d'intérêt. \(V_0 = V_n (1 + k)^{-n}.\)
La différence entre le prix d'un investissement PHYSIQUE et la valeur actuelle des revenus qu'il générera est appelée valeur actuelle nette (VAN). Le taux d'actualisation pour lequel la VAN est nulle est le taux interne de rentabilité.
Si le taux est modifié en cours de route et que l’on souhaite connaître le taux moyen, c’est une moyenne géométrique que l’on calcule.
Deux capitaux sont équivalents si leurs valeurs actualisées à une date donnée sont les mêmes. L’équivalence est alors vérifiée pour chaque date.
Exemple
Illustrons la valeur acquise.
On place 300 euros au taux annuel de \(4\%.\) Quelle somme récupère-t-on 5 ans plus tard ?
\(300 × 1,04^{5} = 365\) euros.
Trop simple ? Vous avez raison. Compliquons (un tout petit peu).
On place 1 000 euros taux de \(4\%.\) Combien de temps faut-il attendre pour retirer 1 200 euros ?
\(1\,000 × 1,04^n = 1\,200.\)
Les logarithmes sont toujours volontaires pour descendre une puissance inconnue.
\(n \ln 1,04 = \ln \frac{1\,200}{1\,000}\)
Donc \(n = \frac{\ln 1,2}{\ln 1,04},\) ce qui signifie que \(n = 4,65,\) soit 5 ans.
Compliquons encore un peu.
Quelle est la valeur acquise par un capital de 300 euros, placés à \(4\%\) annuels durant 5 ans et 10 mois ?
L’objet de l’exercice est de montrer qu’en cours d’année les intérêts sont dus mais non capitalisés. On a vu plus haut que ce capital vaudra 365 euros dans 5 ans. Mais les intérêts courant sur les 10 derniers mois sont simples.
La valeur acquise est donc de \(365 × (1 + 0,04 × \frac{10}{12})\) \(=\) \(377,17\) €.
Contrairement aux intérêts simples, le montant des intérêts composés ne s'obtient qu'en faisant la différence entre le capital d'arrivée et le capital de départ, et non de façon directe.
Taux proportionnel et taux équivalent
Le taux proportionnel est calculé lorsque les intérêts sont simples sur la période : un taux annuel de \(1,2\%\) signifie que le mensuel s’établit au douzième de ce taux, soit \(0,1\%,\) et le trimestriel à \(0,3\%.\)
Soit \(i\) le taux annuel. Le taux équivalent pour une période \(p\) est tel que \((1 + i_p)^p = 1 + i.\) Si l’on élève les deux termes à la puissance \(\frac{1}{p},\) on obtient :
\[i_p = (1 + i)^{\frac{1}{p}} - 1\]
Ce taux n'est bien sûr calculé que dans les situations d’intérêts composés puisqu'il est égal au taux proportionnel si les intérêts sont simples.
À titre d’exemple, un taux annuel de \(6\%\) se traduit par un taux mensuel proportionnel de \(1,06 ^{\frac{1}{12}} - 1\) \(=\) \(0,486755\%.\) On vérifie que 100 unités monétaires placées à \(0,486755\%\) mensuels sous l’hypothèse d’une capitalisation elle aussi mensuelle se transforment en \(100 × 1,00486755^{12},\) soit 106 au bout d’un an.
Ces deux types de taux se combinent éventuellement. Une acquisition immobilière peut être financée à taux équivalent pour une partie initiée par un compte épargne logement et à taux proportionnel pour la partie complémentaire faisant l'objet d'un prêt classique.
Le taux continu
Le taux équivalent rapporté à une période infiniment petite est dit continu. Comme il a la bonne idée de présenter les propriétés d'un taux proportionnel, il a permis l'élaboration du modèle financier de Black et Scholes et c'est dans le cadre de modèles théoriques qu'il est largement utilisé. Il est égal à \(\ln (1 + i).\)
