Tout le monde devrait savoir jongler dans tous les sens avec les intérêts composés. C’est même l’un des rares chapitres de mathématiques enseignés dans certaines filières du secondaire et dont on se sert dans la vie courante, du moins si l'on se préoccupe de son argent… Ce petit rappel pour vous souvenir que le contraire d’un intérêt simple n’est pas un intérêt compliqué.

Un intérêt est dit composé lorsqu’il rapporte lui-même des intérêts une fois qu’il a été versé (étant entendu qu'un versement ne représente pas obligatoirement un flux, Cf. certaines obligations remboursées in fine).

Ainsi, un capital de 100 placé à 10 % permet d’avoir 110 en fin de première année et 110 × 1,1 = 121 (et non pas 120) en fin de deuxième année. Le calcul est celui d'une suite géométrique de premier terme 100 et de raison 1,1. Si en plus on verse un même apport tous les ans, le montant de l'investissement suit une progression arithmético-géométrique.

Au bout de n périodes, on a acquis C_n = C₀(1 + i)ⁿ. C’est le principe de capitalisation, c'est-à-dire que les intérêts deviennent du capital. On détermine ainsi une valeur acquise.

Inversement, la somme à placer en date 0 pour obtenir un certain capital à une date n est appelée valeur actuelle. L’actualisation, inverse de la capitalisation puisqu’on remonte dans le temps, est obtenue par la formule C₀ = C_n(1 + i)^-n. Voir exemples en page annuités.

La différence entre le prix d'un investissement PHYSIQUE et la valeur actuelle des revenus qu'il générera est appelée valeur actuelle nette (VAN). Le taux d'actualisation pour lequel la VAN est nulle est le taux interne de rentabilité.

Si le taux est modifié en cours de route et qu’on souhaite connaître le taux moyen, c’est une moyenne géométrique qu’on calcule.

Deux capitaux sont équivalents si la leurs valeurs actualisées à une date donnée sont les mêmes. L’équivalence est alors vérifiée pour chaque date.

Illustrons.

On place 300 euros au taux annuel de 4 %. Quelle somme récupère-t-on 5 ans plus tard ?

300 × (1,04)⁵ = 365 euros.

Trop simple ? Vous avez raison. Compliquons (un tout petit peu).

On place 1 000 euros taux de 4 %. Combien de temps faut-il attendre pour retirer 1 200 euros ?

1 000 × (1,04)ⁿ = 1 200.

Les logarithmes sont toujours volontaires pour descendre une puissance inconnue.

n ln 1,04 = ln (1 200 / 1 000), donc n = ln 1,2 / ln 1,04, ce qui signifie que n = 4,65, soit 5 ans.

Compliquons encore un peu.

Quelle est la valeur acquise par un capital de 300 euros, placés à 4 % annuels durant 5 ans et 10 mois ?

L’objet de l’exercice est de montrer qu’en cours d’année les intérêts sont dus mais non capitalisés. On a vu plus haut que ce capital vaudra 365 euros dans 5 ans. Mais les intérêts courant sur les 10 derniers mois sont SIMPLES.

La valeur acquise est donc de 365 × [1 + (0,04 × 10 / 12)] = 377,17 €.

Contrairement aux intérêts simples, le montant des intérêts composés ne s'obtient qu'en faisant la différence entre le capital d'arrivée et le capital de départ, et non de façon directe.

Taux proportionnel et taux équivalent

Le taux proportionnel est calculé lorsque les intérêts sont simples sur la période : un taux annuel de 1,2 % signifie que le mensuel s’établit au douzième de ce taux, soit 0,1 %, et le trimestriel à 0,3 %.

Soit i le taux annuel. Le taux équivalent pour une période p est tel que (1 + i_p)^p = 1 + i. Si l’on élève les deux termes à la puissance 1 / p, on obtient :

Ce taux n'est bien sûr calculé que dans les situations d’intérêts composés puisqu'il est égal au taux proportionnel si les intérêts sont simples.

À titre d’exemple, un taux annuel de 6 % se traduit par un taux mensuel proportionnel de (1,06)^1/12 – 1 = 0,486755 %. On vérifie que 100 unités monétaires placées à 0,486755 % mensuels sous l’hypothèse d’une capitalisation elle aussi mensuelle se transforment en 100 × (1,00486755)¹², soit 106 au bout d’un an.

Ces deux types de taux se combinent éventuellement. Une acquisition immobilière peut être financée à taux équivalent pour une partie initiée par un compte épargne logement et à taux proportionnel pour la partie complémentaire faisant l'objet d'un prêt classique.

Le taux continu

Le taux équivalent rapporté à une période infiniment petite est dit continu ou instantané. Comme il a la bonne idée de présenter les propriétés d'un taux proportionnel, il a permis l'élaboration du modèle financier de Black et Scholes et c'est dans ce cadre qu'il est largement utilisé. Il est égal à ln (1 + i). Appelons ce taux j. On obtient une valeur actuelle de C₀ = C_ne^-jn (voir en page exponentielle la limite de la fonction [1 + (i / x)]^x).

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