Les évolutions successives

Taux d'évolution sur plusieurs périodes

Préambule : le contenu de cette page s’inscrit dans les programmes de maths et de SES de seconde (revu en première technologique). C’est la suite logique d'un cours sur les taux de croissance. Elle répond à la question : si une grandeur connaît successivement plusieurs variations, quelle est son taux d'évolution global ?

Exemple : soit une augmentation de \(10\%,\) puis une autre de \(7\%\) puis une baisse de \(3\%.\) À combien s’élève la variation totale ?

Coefficients multiplicateurs

Dès qu’un calcul de pourcentage se profile, il faut sans plus tarder utiliser les coefficients multiplicateurs. En l’occurrence, l'opération consiste simplement à les multiplier entre eux pour obtenir le résultat. On sait qu’il suffit pour cela de prendre 1 et d’ajouter (ou d’enlever, c’est selon) le taux d’évolution divisé par 100. C’est très facile dans le cas des hausses. Pour les baisses, cela demande un léger calcul mental aux plus courageux et une calculatrice pour les autres.

Donc, \(1,10 × 1,07 × 0,97\) \(=\) \(1,14169.\) La hausse globale est de \(14,17\%\) (arrondi).

Éventuellement, la série de nombres peut être présentée sous forme d’indice (exercice 4 ci-dessous).

Lorsque le taux est chaque fois le même, il suffit d’élever le coefficient multiplicateur à une puissance. C’est le principe utilisé dans le calcul d’intérêts composés (toujours le même taux et des intérêts reçus qui rapportent à leur tour des intérêts).

Pour connaître le taux moyen de plusieurs évolutions successives, voir les racines énièmes.

Dans la mesure où les explications ne sont pas plus compliquées que ça, voici sans plus tarder de quoi vous exercer aux calculs d'évolutions...

Exercice 1

Un directeur commercial constate que ses ventes de nains de jardin ont augmenté de \(12\%\) au premier trimestre, puis de \(25\%\) au deuxième trimestre (par rapport au premier) et qu’elles ont diminué de \(30\%\) au troisième trimestre. Quel devrait être la progression du quatrième trimestre pour dépasser l’objectif fixé pour l’année qui est de \(+10\%\) ? Arrondir à deux décimales.

Exercice 2

Les ventes annuelles de nains de jardin s’établissent ainsi :

Quels sont les taux de croissance d’une année sur l’autre ? Calculer le taux d’évolution global de deux façons différentes.

Exercice 3 (plutôt pour filière ES)

Les ventes d'une entreprise augmentent deux années de suite de \(x\%.\) Au total, la hausse s’élève à \(21\%.\) Quelle est la progression annuelle ?

Exercice 4 (avec indices)

Les ventes sur six années se présentent comme suit :

Quelle est l’évolution relative observée entre 2007 et 2012 ?

Calculer les indices de chaque année, base 100 en 2007. En déduire une remarque judicieuse.

Corrigé 1

Appelons \(x\) le coefficient multiplicateur du quatrième trimestre et utilisons les coefficients multiplicateurs dans une inéquation.

\(\displaystyle{\left(1 + \frac{12}{100}\right)}\) \(\times\) \(\displaystyle{\left(1 + \frac{25}{100}\right)}\) \(\times\) \(\displaystyle{\left(1 - \frac{30}{100}\right)}\) \(\times\) \(x\) \(>\) \(\displaystyle{1 + \frac{10}{100}}\)

\(1,12 × 1,25 × 0,70 × x\) \(>\) \(1,1\)

Il s’ensuit que \(0,98x > 1,1\)

Donc \(x > 1,1224.\) Les ventes du quatrième trimestre doivent progresser d’au moins \(12,24\%\) (ce qui ne sera pas évident à réaliser car les nains de jardin se vendent très mal en automne).

Corrigé 2

De 2010 à 2011…

\(\displaystyle{\frac{750 - 600}{600} \times 100 = 25\%}\)

De la même manière, on trouve une baisse de \(8\%\) entre 2011 et 2012.

La façon la plus simple de calculer l’évolution globale consiste à comparer 2010 et 2012. Le taux de croissance entre 600 et 690 se calcule comme ci-dessus. On trouve \(+15\%.\)

L’autre solution consiste à multiplier les coefficients directeurs des deux taux que nous venons de calculer. \(1,25 × 0,92 = 1,15.\) Ce coefficient correspond bien à une hausse de \(15\%.\)

Corrigé 3

Il faut comme toujours raisonner avec les coefficients multiplicateurs.

\(\displaystyle{\left(1 + \frac{x}{100}\right)^2 = 1,21}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow 1 + \frac{x}{100} = \sqrt{1,21}}\) (ne peut pas être égal à \(-\sqrt{1,21}\) dans le cadre de cet exercice)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow 1 + \frac{x}{100} = 1,1 - 1}\)

Donc \(x = 0,1 × 100 = 10.\) L’augmentation annuelle des ventes est de \(10\%.\)

Corrigé 4

L’évolution sur les six années (soit cinq évolutions) se calcule comme dans les exercices précédents. On trouve facilement \(+38\%.\)

Pour obtenir une série indicée 100 en 2007, il faut diviser toutes les valeurs par celle de 2007, c’est-à-dire 500, puis les multiplier par 100.

La remarque à faire, c’est que l’augmentation de \(38\%\) se constate aussi sur la dernière case du tableau (si l’on passe de 100 à 138, il est évident que la hausse s'établit à \(38\%\).