Les pourcentages d'évolution

Taux de croissance et évolutions réciproques

Cette page est plus particulièrement adressée aux élèves de seconde et des premières technologiques (le thème peut d'ailleurs tomber au bac, voir la page d'exercice sur suite géométrique). Par ailleurs, les taux de variation ont déjà été vus en SES (Sciences Économiques et Sociales). Elle expose une notion simple, rencontrée dans la vie quotidienne.

Après la lecture de cette page, vous serez mûr(e) pour faire des affaires.

Taux de croissance

Le pourcentage, puisque c'est de lui qu'il s'agit, permet d’apprécier une évolution. Celle-ci peut s’observer dans le temps mais pas uniquement. Ainsi, un prix évolue d’une période à l’autre mais aussi lorsqu’il passe du hors taxe (HT) au TTC. En revanche, si l’on constate que la part des femmes dans l’entreprise Machinchose était de \(41\%\) et qu’elle est un an plus tard de \(45\%,\) il ne s’agit pas de pourcentages d’évolution mais d’une comparaison de deux pourcentages de proportions (et attention, on ne parle pas ici d'une augmentation de \(4\%\) mais de 4 points).

Selon les circonstances, le pourcentage d’évolution est parfois appelé taux de croissance. Ce terme est cependant à éviter lorsque c’est une baisse qui est observée puisqu'il y a décroissance.

\(\frac{\rm{valeur\;d'arrivée} - \rm{valeur\;de\;départ}}{\rm{valeur\;de\;départ}} \times 100\)

Un pourcentage d’évolution indique une variation relative. C'est une information complémentaire à celle de la variation absolue. Prenons un exemple simple.

Ci-dessous figurent trois timbres canadiens. Le morse coûte 44 cents, le bœuf musqué coûte 59 cents et le grizzli coûte 76 cents. Les variations absolues sont obtenues par simple soustraction. Ainsi, il faut débourser 15 cents supplémentaires pour passer du morse au bœuf musqué puis 17 cents pour passer à l’ours.

Toutefois, si l’on utilise le taux de croissance, on constate qu’il est de \(34,1\%\) entre le morse et le bœuf musqué (arrondi à une décimale) et de \(28,8\%\) entre ce dernier et le grizzli. Ceci peut sembler contradictoire puisque la plus forte hausse en variation absolue correspond à la plus faible en valeur relative. Il n’y a évidemment aucune contradiction puisqu’un pourcentage d’évolution dépend de la variation absolue mais aussi de la valeur de départ.

Contrairement au pourcentage de proportion, un taux d'évolution peut dépasser \(100\%\) ou être négatif. Un niveau qui double augmente de \(100\%,\) ou de \(200\%\) s’il triple et ainsi de suite. Donc attention à une erreur souvent commise : un résultat multiplié par 5 n’est pas la même chose que \(+500\%\) (il équivaut à \(400\%\). En revanche, à la baisse, l’évolution ne peut pas descendre sous \(-100\%.\)

Lorsque des calculs nécessitent des étapes intermédiaires, c’est le coefficient multiplicateur (ou multiplicatif) qui est utilisé. Il se calcule en divisant la valeur d’arrivée par la valeur de départ. C'est aussi le taux de croissance divisé par 100 puis majoré de 1. Ainsi, une augmentation de \(10\%\) se traduit par un coefficient de \(1 + \frac{10}{100} = 1,1.\) Une diminution de \(10\%\) se traduit quant à elle par un coefficient de \(1 + \frac{-10}{100} = 0,9.\)

Ce coefficient est donc tout simplement le nombre par lequel on multiplie la valeur de départ pour obtenir la valeur d’arrivée.

Exemple : \(20 + 10\%\) \(=\) \(2 + 20 \times \frac{10}{100}\) \(=\) \(20 + (20 × 0,1).\) Factorisons avec 20.

\(20 × (1 + 0,1)\) \(=\) \(20 × 1,1.\) Le coefficient est égal à 1,1.

Dans le langage usuel, on emploie le coefficient multiplicateur pour exprimer des hausses de \(100\%\) et plus (voir plus haut).

Généralement, le coefficient multiplicateur est arrondi à quatre chiffres après la virgule ce qui est cohérent avec des pourcentages arrondis au centième. C'est l'arrondi le plus habituel, du moins en économie et en gestion.

On peut résumer tout ceci par de petites formules où \(V_0\) est la valeur de départ et \(V_1\) la valeur d’arrivée. Ainsi, la variation absolue est \(V_1 - V_0,\) le coefficient multiplicateur est \(\displaystyle{\frac{V_1}{V_0}}\) et la variation relative ou taux de croissance est \(\displaystyle{\frac{V_1 - V_0}{V_0}}.\)

Évolution réciproque

Un pourcentage à la hausse suivi d’un même pourcentage à la baisse (ou inversement) ne permet pas de revenir au point de départ. C’est évident puisqu'il ne s’applique plus à la même valeur initiale. En cas d’augmentation de \(x\%,\) il faut une diminution de plus de \(x\%\) pour revenir au point de départ. Pour annuler un coefficient multiplicateur dans un sens, il faut calculer l’inverse du coefficient dans l’autre sens.

Exemple : le prix d’une action baisse de \(6\%.\) De combien doit-elle augmenter pour retrouver son niveau de départ ?

Le coefficient multiplicateur s’établit à \(1 + \frac{-6}{100},\) donc 0,94. Dans l’autre sens, il est donc de \(\frac{1}{0,94}\) soit 1,0638 environ. Ainsi l’action doit progresser de \(6,38\%\) pour revenir à son cours initial. Remarquez que le taux réciproque ne dépend pas des valeurs. On ne sait même pas quel était le prix de l’action !

Le taux réciproque est très pratique pour connaître un prix HT alors que l’on connaît le TTC. Soit un prix TTC de 30,00 €. On sait que le taux de TVA est de \(20\%.\) Quel est le prix HT ?

Réponse : \(30 × \frac{1}{1,2} =\) 25 €

Notez que plus le pourcentage est élevé, plus la différence est importante entre un taux et son réciproque. Ainsi, une diminution de \(50\%\) est compensée par une hausse de \(100\%.\)

Enfin, remarquez que l’ordre ne change rien : qu’il se produise d’abord une hausse et ensuite une baisse ou l’inverse, un taux a toujours son même réciproque.

Évolution d’un rapport d’évolutions

Voyons une propriété qui n’est pas mentionnée dans les programmes scolaires mais qui peut apparaître dans un exercice : l’évolution d’un rapport de deux coefficients multiplicateurs s’analyse comme n’importe quelle progression.

Exemple : le pouvoir d’achat se mesure en divisant un revenu par un indice des prix.

Quelle évolution du pouvoir d’achat montre le tableau ci-dessous ?

Les prix ont progressé de \((\frac{119}{115} -1) \times 100\) \(=\) \(3,48\%\) tandis que le salaire n’a augmenté que de \(3,08\%.\) Le rapport des coefficients multiplicateurs est égal à \(\frac{1,0308}{1,0348}\) soit 0,9961. Ce chiffre représente le coefficient du pouvoir d’achat qu’il suffit de transformer en pourcentage : \(-0,37\%.\)

Indices

Si l’on dispose de données sous forme d’indice, l’évolution se calcule exactement de la même façon. Pour transformer des données brutes en indice, il faut les diviser par la valeur de départ puis multiplier le résultat par 100. Voir la page sur les évolutions successives.

Exercice sur les pourcentages et corrigé

Un poissonnier vend un lot de poissons des profondeurs 50 euros. Comme ils ne sont plus très frais, il baisse son prix de \(10\%.\) Mais personne n’en veut et les poissons sentent de plus en plus mauvais. Le commerçant s’obstine à vouloir les refiler à quelqu’un et accorde un rabais supplémentaire de \(20\%.\) Quel est le prix de vente ? Quel pourcentage global de remise le poissonnier accorde-t-il ?

Corrigé

Après le premier rabais, le prix s'établit à \(50 × (1 - \frac{10}{100}),\) soit 45 euros. Le second rabais diminue le prix à \(45 × (1 - \frac{20}{100}),\) soit 36 euros.

On obtient aussi ce prix en appliquant les taux coefficients multiplicateur en une seule opération : \(50 × 0,9 × 0,8 = 36.\)

Le pourcentage total de rabais s’établit à \(\frac{36 - 50}{50} × 100,\) soit \(-28\%\) (et non pas un rabais de \(10 + 20 = 30\%\)).

On arrive au même résultat en multipliant les deux coefficients : \(0,9 × 0,8 = 0,72.\) Un coefficient de 0,72 correspond à une baisse de \((1 - 0,72) × 100 = 28\%.\)