Indices de Paasche et de Laspeyres
Alors qu’un indice simple permet de constater une évolution univariée dans le temps, un indice composite agrège des informations de deux types (prix et quantités). Nous n’évoquerons donc pas les indices boursiers qui synthétisent le cours d’actions parfois très nombreuses, mais seulement les indices des prix et des quantités.
Problématique
En effet, comment pondérer les prix ? Il est bien évident que celui du super sans plomb est plus important que celui des épinards en branche… Mais supposons un passionné de photos qui dépensait une bonne partie de son budget dans leurs développements à l'époque de l’argentique. Le passage au numérique lui a permis de réaliser de très grosses économies qui ont pu compenser l’inflation sur les autres produits. Cet exemple rappelle d’une part qu’un indice représente presque toujours une moyenne fictive et d’autre part que les proportions des différents postes d’un budget évoluent.
Donc, les indices sont certes établis au niveau d'une économie nationale, mais il n'est pas insurmontable d'écrire un petit programme pour une entreprise qui souhaite suivre son propre indice, composé de ses achats les plus courants.
Lorsque l’on affecte les prix de la période 0 par les quantités de la même période, puis les prix de la période 1 par ceux de la période 1, on obtient une double évolution, des prix et des quantités « mélangés ». C’est un indice de dépense, parfois appelé indice de la valeur, dont on ne peut se satisfaire pour observer la seule évolution des prix (ou des quantités).
Le choix de construction d’un indice synthétique est cornélien : doit-on effectuer une moyenne d’indices simples puis considérer l’évolution de cette moyenne comme un indice ou au contraire calculer toutes les évolutions d’indices simples puis en faire la moyenne ? Car les résultats seront différents… Et comble de malchance, l’une des deux solutions n’est pas meilleure que l’autre.
Ce ne sont pas les pondérations qui provoquent cette différence mais le mode de calcul lui-même. Voici l’exemple d’un panier de ménagère où tous les articles sont également pondérés. L’indice de moyennes est inscrit en rouge et la moyenne d’indices est en vert.
L’indice de moyennes arithmétiques, en rouge, bénéficie de toutes les vertus d’un bon indice, notamment la circularité et la réversibilité (voir les indices simples). Toutefois, si une modification intervient dans les proportions, elle passe inaperçue alors qu’il est toujours possible d’en tenir compte lorsqu’on calcule une moyenne d’indices…
Du coup, on choisit plutôt cette dernière. Pour que les conditions de réversibilité et de circularité soient satisfaites, il faut en toute rigueur employer la moyenne géométrique. Pourtant, elle n’est pas utilisée dans les calculs d’indice les plus courants.
L’indice de Paasche
Proposé par l’économiste allemand Hermann Paasche (1851-1925), c’est la moyenne harmonique des indices de prix pondérés par les quantités de la période actuelle. De même, un indice des quantités de Paasche est pondéré par les prix actuels.
\(\displaystyle{P_{t/0} = \frac{\sum{P_tQ_t}}{\sum{P_0Q_t}} \times 100}\) et \(\displaystyle{Q_{t/0} = \frac{\sum{P_tQ_t}}{\sum{P_tQ_0}} \times 100}\)
L’indice des prix se heurte à une grosse difficulté : celle de connaître à tout moment les quantités pour pondérer les prix. Ces coefficients de pondération se nomment coefficients budgétaires.
On lui préfère pour cette raison un autre indice, celui de Laspeyres.
L’indice de Laspeyres
En 1871, Étienne Laspeyres, allemand lui aussi, avait proposé un autre calcul d’indice synthétique. Il s’agit d’une moyenne arithmétique des indices des prix pondérés par les coefficients budgétaires de la période de base. De même, il existe un indice des quantités. Ces moyennes sont pondérées par les prix de la période de départ.
\(\displaystyle{P_{t/0} = \frac{\sum{P_tQ_0}}{\sum{P_0Q_0}} \times 100}\) et \(\displaystyle{Q_{t/0} = \frac{\sum{P_0Q_t}}{\sum{P_0Q_0}} \times 100}\)
Par construction, l’indice de Laspeyres présente une progression plus rapide que celui de son confrère Paasche, une moyenne arithmétique étant supérieure ou égale à une moyenne harmonique.
La plupart des pays utilisent l'indice de Laspeyres pour évaluer leur inflation. Il n'est pas forcement le plus juste, mais il est le plus pratique. Toutefois, il n'est pas employé en l'état mais sous forme d'indice-chaîne : la composition du panier est périodiquement modifiée et cette nouvelle composition sert à son tour de base aux calculs ultérieurs.
L’indice de Fischer
L'indice de Fisher est la moyenne géométrique des indices de Paasche et de Laspeyres. Comme il nécessite les mêmes contraintes que celui de Paasche, il est très peu usité. De plus, il ne satisfait pas la condition de circularité.
La moyenne arithmétique des deux indices est l’indice de Sidgwick.
Exemple
Emballé par ces précieuses connaissances, un pêcheur souhaite calculer les quatre indices à partir des divers invertébrés qu’il achète.
En espérant que vous appréciez la fraîcheur de ces exemples…
Webographie : http://indicespro.insee.fr/Default.asp?fenetre=plus/Sources.htm#p6
