Chaînage d'indices composites
L’INSEE et, d’une manière générale, les organismes qui suivent des grandeurs économiques recourent aux indices qui sont d’excellents outils de comparaison : indices simples lorsqu’il s’agit de suivre l’évolution d’une série homogène ou indices composites (ou synthétiques) lorsque les éléments de la série comportent des pondérations variables.
La lecture de cette page suppose que vous connaissez les indices composites (ou mieux, que vous vous êtes entraîné sur l’exemple de calcul d’indices composites !).
Problématique
L’indice de Laspeyres, qui est le plus souvent utilisé, a l’avantage d’être établi à partir d’une pondération fixe. Mais cet avantage est aussi un inconvénient. Cette facilité fausse les calculs au fur et à mesure que l’on s’éloigne de la date de référence : un indice des prix est calculé à partir de la composition obsolète d’un panier et un indice de volume l’est à partir de prix constants, eux aussi obsolètes.
D’où l’idée d’actualiser régulièrement les pondérations des quantités pour les indices des prix, et des prix pour les indices de volume.
Principe
Soit \(C_t\) un indice-chaîne et \(I_t\) un indice synthétique. Le principe consiste à chaîner les indices \(I_t\) en utilisant les pondérations de \(I_{t-1}\) et non celles de \(I_0.\)
\(C_{t/0} = I_{1/0} \times I_{2/1} \times … \times I_{t/t-1}\)
Autrement dit : \(C_{t/0} = I_{t/t-1} \times C_{t-1/0}\)
Notez que la date de base ne change pas (ne la confondez pas avec la date de pondération).
On peut calculer des indices-chaînes de Laspeyres, de Paasche ou de Fisher.
Ainsi un indice-chaîne d’indices de Laspeyres est le produit d’indices consécutifs de Laspeyres mais il n’en est pas un.
Cette technique cumulative présente quelques inconvénients. Notamment, une erreur à une période donnée fausse tous les calculs suivants.
De plus, son intérêt se restreint au suivi périodique. Pour une comparaison sur plusieurs années, on doit revenir à un indice non chaîné.
Enfin, si les séries sont très chaotiques, le résultat des calculs en chaîne devient vite très différent de celui d’un indice calculé sur l’ensemble de la période.
Non-additivité
Les indices synthétiques de Paasche et de Laspeyres étant des moyennes, on peut les obtenir en agrégeant les indices de sous-groupes qui les composent.
Il est donc possible de calculer un indice des prix de Laspeyres pour l’habillement, un autre pour l’alimentation et d’autres pour chaque grande catégorie de consommation puis, en utilisant les pondérations appropriées, de retrouver l’indice global des prix.
Cette propriété ne se vérifie pas avec les indices-chaînes puisque les pondérations changent à chaque date de calcul. C'est la principale limite de cette méthode.
Exemple d’un Laspeyres des prix
Bien que l’on puisse construire des indices-chaînes de Paasche, c’est surtout celui de Laspeyres qui est employé.
Ainsi, c’est celui que l’INSEE calcule pour mesurer les évolutions de prix et de volumes car il tient compte des modifications de structure de l’économie.
Prenons l’exemple tout à fait fictif d’un ménage qui recourt à trois moyens de transport : voiture, train et bus. Les quantités sont les kilomètres parcourus et les prix sont les coûts au kilomètre (dans une devise qui n’est pas l’euro !), relevés pour trois années, 0, 1 et 2.
Nous souhaitons calculer l’indice-chaîne des prix de Laspeyres.
| p0 | q0 | p1 | q1 | p2 | q2 | |
| voiture | 5,1 | 500 | 6,1 | 450 | 6,9 | 380 |
| train | 0,9 | 900 | 1,1 | 950 | 1,2 | 1 000 |
| bus | 2,1 | 200 | 2,5 | 150 | 2,9 | 150 |
À partir de ces données, nous multiplions les quantités par les prix.
| p0q0 | p1q1 | p2q2 | p2q0 | p1q0 | p2q1 | |
| voiture | 2 550 | 2 745 | 2 622 | 3 450 | 3 050 | 3 105 |
| train | 810 | 1 045 | 1 200 | 1 080 | 990 | 1 140 |
| bus | 420 | 375 | 435 | 580 | 500 | 435 |
| total | 3 780 | 4 165 | 4 257 | 5 110 | 4 540 | 4 680 |
Notez que le calcul de \(p2q2\) n’est pas utile dans cet exemple mais il permet d’établir l’indice de dépense.
Ainsi \(\frac{\sum p2q2}{\sum p0q0} \times 100 = 112,62.\)
\(p2q0\) est également inutile pour calculer l’indice-chaîne mais, à titre de comparaison, nous calculons l’indice de Laspeyres de l’année 2.
\(L_{2/0}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{\sum p2q0}{\sum p0q0} \times 100}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{5\,110}{3\,780} \times 100}\) \(=\) \(135,19\)
Il est plus élevé que l’indice de dépense puisque les quantités ont diminué, en particulier là où les prix ont le plus monté relativement (coût du km en voiture). C’est un effet de substitution classique : si le prix d'un article augmente davantage que les autres, les consommateurs se reportent sur des articles dont les prix sont demeurés plus stables.
Après cette introduction, passons à l’indice-chaîne.
Le premier maillon n’est autre que l’indice de Laspeyres de la première année.
\(L_{1/0}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{\sum p1q0}{\sum p0q0} \times 100}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{4\,540}{3\,780} \times 100}\) \(=\) \(120,11\)
Le second maillon est l’indice de Laspeyres de l’année 2 par rapport à l’année 1.
\(L_{2/1}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{\sum p2q1}{\sum p1q1} \times 100}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{4\,680}{4\,165} \times 100}\) \(=\) \(112,36\)
Si l’on veut déterminer l’indice global à partir de l’indice-chaîne :
\(L_{1/0} \times L_{2/1} = 120,11 \times 112,36 \times 0,01 = 134,96.\)
Nous remarquons qu’il est peu éloigné du « vrai » indice de Laspeyres qui s’établissait, rappelons-le, à 135,19.
