Indices simples et propriétés
Qui ne connaît pas les indices ? Ils sont si utilisés qu’ils sont enseignés dans bon nombre de matières dès le lycée puis dans le supérieur (maths, économie, marketing, statistiques, maths financières…). Pour fixer les idées, cette page constitue un rapide panorama sur les indices simples qui commence en classe de première et s’achève au niveau bac + 1. C'est alors que sont abordés les indices composites... Mais si vous êtes lycéen, la page d'initiation aux indices simples sera plus adpatée à vos attentes que cette page-ci.
Évolutions en pourcentage
Le sujet est traité en détail sur les pages pourcentages d'évolution et évolutions successives plus particulièrement à l'attention des élèves de classe de première.
Complémentaire de l’information « évolution en valeur absolue », le taux de croissance apporte un éclairage souvent plus riche. Il se définit de façon très simple :
\(\displaystyle{\frac{\rm{valeur\;d'arrivée} - \rm{valeur\;de\;départ}}{\rm{valeur\;de\;départ}} \times 100}\)
Un coefficient multiplicateur est tout simplement ce taux divisé par 100 qui s'ajoute à 1 s'il s'agit d'une augmentation ou que l'on retire de 1 s’il s’agit d’une baisse. Ou encore, ce qui revient au même, on calcule le ratio \(\frac{\rm{valeur\;d’arrivée}}{\rm{valeur\;de\;départ}}.\)
Exemple : 852 632 acariens s’ébattent joyeusement sur un tapis. Le lendemain à la même heure, leur effectif s’élève à 920 012. On trouve un taux de croissance de \(7,9\%\) et donc un coefficient multiplicateur de 1,079. Effarée, la maîtresse de maison passe l’aspirateur, vaporise divers produits, prend un microscope et compte ce qui reste d’acariens : 153 012 bestioles. Soit un taux de croissance de \(-83,4\%\) c’est-à-dire un coefficient de 0,166. La soustraction \(1 - 0,166\) permet de retrouver le chiffre de \(-83,4\%.\)
L’indice de variation
Le calcul de l'indice de variation est très proche de celui du coefficient multiplicateur :
\(\displaystyle{\frac{\rm{valeur\;d’arrivée}}{\rm{valeur\;de\;départ}} \times 100}.\)
Pour observer une grandeur à plusieurs dates ou instants différents, un indice devient plus pratique. De plus, il permet de comparer facilement plusieurs évolutions car c’est une grandeur sans dimension (on parle de « points d’indice »). Alors que le coefficient multiplicateur n’a pas de propriétés calculatoires très étendues, un indice possède quant à lui quelques vertus étonnantes qui le rendent attachant…
Propriétés
La première d’entre elles est la circularité (ou transférabilité). Prenons trois dates : 0, 1 et 2.
\(I_{2/0} = I_{2/1} \times I_{1/0}.\)
Cette formule semble assez évidente. Mais il existe aussi des indices composites dont la construction doit satisfaire cette exigence et là, ça devient plus compliqué…
La circularité permet de retrouver des informations manquantes. D’ailleurs, si l’on dispose d’une série chronologique d’indices avec suffisamment de décimales, on peut si l’on connaît la dernière valeur retrouver toute la série à partir des indices. En entreprise, il n’est pas exceptionnel de recourir à divers bidouillages pour retrouver une information ancienne, perdue au gré des changements de postes, de logiciels, ou au fil des restructurations…
La deuxième propriété est l’identité : une situation qui revient à son point de départ est affectée du même indice, ce qui n’est pas le cas avec les taux de croissance.
La troisième propriété est la réversibilité :
\(\displaystyle{I_{0/t} = \frac{1}{I_{t/0}}}\)
Cette propriété permet des changements d’indice. Soit un indice base 100 en 1990 qui devient 110 en 2000 et 140 en 2010. On souhaite que la base soit désormais l’année 2000. Étant réversible, \(I_{00/90}\) devient \(\displaystyle{\frac{1}{I_{90/00}} × 10\,000},\) c’est-à-dire 90,9090… On n’a plus qu’à multiplier nos anciens indices par 0,9091 pour obtenir, grâce à la propriété de circularité, une nouvelle série qui s’établit à 90,91 en 1990, 100 en 2000 et 127,27 en 2010.
Indice moyen
Un indice moyen fournit une information synthétique, complémentaire d'un éventuel graphique. En toute rigueur, c’est à la moyenne géométrique qu’il faut alors recourir car elle est la seule à préserver les conditions de circularité et de réversibilité.
Tricheries
Alors, un indice simple est-il un indicateur parfait ? Non, il a son côté obscur… Un indice appliqué à un flux très variable, une définition de la grandeur observée qui change, un choix pernicieux pour la date de la base 100…
Exemple : ci-dessous, un indice est calculé à deux dates différentes. En Provence en 1734, un seigneur dispose de statistiques sur les larrons et vide-goussets de tout poil emprisonnés grâce à sa garde. Il souhaite montrer fièrement un graphique avantageux à son suzerain. À titre de comparaison, il présente aussi en pointillés les chiffres de l’un de ses cousins qui vit en Picardie. Quel graphique peut-il bien exposer ?
Note : l’année 1720 est celle d’une grave épidémie de peste dans le sud de la France.
Graphique base 100 en 1715 (auparavant, les statistiques étaient peu fiables…)
Et si l’on prenait plutôt une base 100 en 1720 ?
Évidemment, cet exemple est fictif. D’ailleurs, qui de nos jours oserait choisir les dates d’un graphique pour orienter une opinion ?
