Fonction inverse : généralités et translations
Cette bonne vieille fonction inverse qui, pour tout réel \(x\) non nul associe l’expression \(\frac{1}{x}\) (= \(x^{-1}\)), est une fonction de référence dont l'étude commence en classe de seconde (Cf. page de première approche de la fonction inverse) mais le texte qui suit est plutôt de niveau terminale ou supérieur. Si vous êtes en terminale technologique, voyez plutôt la page sur la fonction inverse en terminale technologique.
Généralités
Sa courbe représentative est une hyperbole symétrique par rapport à l’origine :
Il est évident que la fonction n’est pas définie pour \(x = 0.\) En revanche, elle est continue et strictement décroissante sur les intervalles \(\mathbb{R}^*_-\) et \(\mathbb{R}^*_+.\)
On s'éloigne de l'origine...
Il est tout aussi évident que plus \(x\) est grand, plus \(\frac{1}{x}\) est petit. Un millionième est plus petit qu’un dixième. Si \(x\) est infiniment grand (positivement ou négativement), \(\frac{1}{x}\) est infiniment petit mais jamais nul. Inversement, si \(x\) est infiniment petit, son inverse est infiniment grand.
Graphiquement, ces tendances infinies se traduisent par une asymptote verticale d’équation \(x = 0\) et une asymptote horizontale, \(y = 0,\) ce qui se déduit des limites :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = {0^ - }\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} = - \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = {0^ + }\]
Le tableau de variation de cette fonction se trouve en page d'asymptotes.
La fonction inverse est impaire puisque quel que soit \(x\) non nul, \(f(-x)\) est égal à \(-f(x).\) Par exemple, si \(x\) est égal à 2, \(f(-2)\) est égal à \(\frac{1}{-2}\) et \(-f(2)\) est égal à \(-\frac{1}{2}.\)
Dérivée et primitive
La dérivée de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = \frac{1}{x}\) est \(f’(x) = -\frac{1}{x^2}.\) Représentation graphique de \(f',\) toujours sur Microsoft Math :
La fonction étant toujours décroissante sur chacun des deux intervalles de son ensemble de définition, la dérivée est toujours négative du moment que \(x\) est différent de 0. Par ailleurs, la fonction inverse est indéfiniment dérivable.
Une primitive de la fonction inverse est la fonction logarithme népérien.
Translations
Si une fonction a pour expression \(g(x) = \frac{1}{x + a},\) on peut la ramener à la fonction inverse par simple changement de variable. Graphiquement, ceci se traduit par une translation de l’hyperbole sur la gauche si \(a\) est positif et à droite s’il est négatif, c’est-à-dire par le vecteur de coordonnées \((-a\,;0).\)
Exemple si \(a = 1.\) La courbe rouge représentative de la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\backslash \{-1\}\) par \(g(x) = \frac{1}{x + 1},\) réalisée sur GeoGebra :
Soit une fonction \(h\) dont l’expression est \(h(x) = \frac{1}{x} + b.\) La translation est cette fois-ci verticale : vers le haut si \(b\) est positif et vers le bas s’il est négatif.
La combinaison de ces deux translations reproduit toujours la même hyperbole mais excentrée en biais par rapport à l’origine.
\(k(x) = \frac{1}{x + a} + b\) \(=\) \(\frac{1 + bx + ab}{x + a}\)
Donc, chaque fois qu’une fonction s’écrit sous cette une forme, il s’agit d’une simple translation de la fonction inverse. Prenons \(k(x) = \frac{-3x - 5}{x + 2}\) qui, comme on dit dans la police, correspond au signalement.
On visualise bien la translation de la courbe par le vecteur de coordonnées \((-2\,;-3).\)
