Exemples de substitutions de variables
Parmi les ruses qui permettent de venir à bout d’opérations difficiles figure le changement de variable. Sur cette page sont présentées quelques situations par ordre croissant de difficulté, dont le niveau commence en classe de première pour s'achever dans le supérieur.
Situation 1 : équations bicarrées
Il s’agit de résoudre l’équation pour laquelle un polynôme d’ordre 4 est égal à zéro, alors qu’il n’y a ni degré 3 ni degré 1. En posant \(X = x^2,\) on obtient un banal trinôme…
Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) la courbe représentative de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^4 - 5x^2 + 4\) croise-t-elle l’axe des abscisses ?
On pose \(X = x^2.\) Donc on doit résoudre l’équation \(X^2 - 5X + 4 = 0.\) Le discriminant est égal à 9. Comme il est strictement positif, l'équation admet deux solutions. Les racines sont \(X_1 = 1\) et \(X_2 = 4.\) Donc les valeurs de \(x\) qui vérifient l’équation sont les racines carrées de ces valeurs et leurs opposés. \(S = \{-2\,; -1\,; 1\,; 2\}.\) Représentation graphique en page de divisions de polynômes.
Situation 2 : lois de probabilité
Voir la transformation affine d'une variable aléatoire.
Situation 3 : autres équations
Une expression qui revient plusieurs fois dans une équation peut être remplacée par une nouvelle inconnue \(X\) dans un premier temps avant d’en déduire notre inconnue \(x\) de départ.
Exemple avec logarithmes népériens : \((\ln x)^2 - 5 \ln x + 4.\) On pose \(\ln x = X\) et nous voici revenus à l’exemple précédent. Puis on revient à \(x.\) Les solutions apparaissent dans toute leur splendeur : \(S = \{e\,; e^4\}.\)
Voir également les pages sur l'exponentielle et les équations trigonométriques (changement de variable pour là aussi ramener des équations à l’étude d’un trinôme).
Situation 4 : systèmes
Voir la page d'exemples de systèmes d’équations.
Situation 5 : régressions
Bien que les calculatrices et les logiciels résolvent les régressions les plus improbables, on peut être amené à passer par un changement de variable pour parvenir à l’équation d’une régression linéaire simple (opération autrefois très courante aux épreuves du bac ES).
Exemple tiré de l’épreuve du bac ES, Pondichéry 2011. Un webmaster s’intéresse au nombre de pages visitées (en milliers et par semaine) suivant l’ouverture du site. Un nuage de points indique qu’un ajustement exponentiel est davantage adapté qu’un ajustement affine. La variable \(y\) est alors remplacée par \(z = \ln y\) :
On procède alors à un ajustement affine avec la calculatrice. On trouve \(z = 0,25x + 3,33.\) Il reste à retrouver notre cher \(y.\)
Donc \(\ln y = 0,25x + 3,33,\) alors \(y = e^{0,25x} × e^{3,33} \approx 27,94e^{0,25x}\)
Situation 6 : intégrales
Recourir au changement de variable pour résoudre une intégrale peut s’avérer une opération bien pratique. Le but avoué est d’obtenir une fonction plus simple à intégrer. Mais attention, les bornes de l’intégrale ne sont plus les mêmes et surtout, l’élément différentiel est modifié.
On démontre facilement avec la formule de dérivation des fonctions composées que, \(u(t)\) étant une fonction qui vient se substituer à \(x\) :
\[\int_a^b {f(x)dx = \int_\alpha ^\beta {(f \circ u)(t) \times u'(t)dt} } \]
À titre d’exemple, intégrons ceci :
\[\int_e^4 {\frac{{dx}}{{x\ln x}}} \]
Choisissons \(u(t) = \ln x.\) La dérivée \(u’\) ne vaut guère mieux que \(\frac{1}{x}.\) Les nouvelles bornes sont \(\ln 4\) et \(\ln e\) c’est-à-dire 1. Donc \(du = dx × \frac{1}{x}\) et, juste retour des choses, \(dx = xdu.\)
L’étape suivante consiste à éliminer impitoyablement les \(x\) de la fonction à intégrer. Si la manœuvre est impossible, il faut revenir au point de départ puis explorer une autre piste.
\[\int_e^4 {\frac{{dx}}{{x\ln x}} = \int_1^{\ln 4} {\frac{1}{{xu}}xdu} } \]
\[\Leftrightarrow \int_e^4 {\frac{{dx}}{{x\ln x}} = \int_1^{\ln 4} {\frac{{du}}{u}\left[ {\ln u} \right]} } _1^{\ln 4}\]
Ce cheminement nous conduit à \(\ln (\ln 4) - \ln 1,\) soit environ 0,3266.
Situation 7 : limites, courbes asymptotes
La recherche d’une limite à l’infini de \(f(x)\) peut conduire à chercher la limite en zéro de \(f(u)\) avec \(u = \frac{1}{x}.\) Des exemples de changements de variables figurent en page de logarithmes et croissances comparées (niveau terminale générale).
Ainsi, une limite en zéro peut amener un développement limité de Mc laurin. Cette opération permet de constater si une courbe représentative d’une fonction polynomiale est asymptote à la courbe de \(f.\)
Situation 8 : complexes
Un exemple d'équation dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes figure en page d'exercices avec complexes.
