Exercices sur la forme algébrique des complexes
Vous prendrez bien quelques exercices progressifs d’initiation aux nombres complexes, de niveau terminale générale, maths expertes ? Ceux-ci, assez simples, n’utilisent que la forme algébrique. Voici le menu (note : l'exercice d'opérations avec complexes peut s'intercaler entre les exercices 1 et 2. Vous trouverez aussi des exercices plus simples en page de réécritures de complexes et des révisions pour le bac avec le cercle dans le plan complexe).
Exercice 1 et corrigé
En guise de hors d’œuvre, trouver la partie réelle et la partie imaginaire du nombre \(z = \frac{i - x}{i + x}\)
Cet exercice ne nécessite qu’une connaissance basique des nombres complexes. Il faut obtenir une forme \(z = x + yi.\) Faisons donc disparaître en premier lieu \(i\) au dénominateur.
\(z\) \(=\) \(\frac{(i - x)(i - x)}{(i + x)(i - x)}\) \(=\) \(\frac{i^2 - 2ix + x^2}{i^2 - x^2}\) \(=\) \(\frac{-1 - 2ix + x^2}{-x^2 - 1}\) \(=\) \(\frac{-x^2 + 2ix + 1}{x^2 + 1}\)
Il nous reste à scinder cette expression pour faire apparaître la structure désirée.
\(z\) \(=\) \(\frac{-x^2 + 1}{x^2 + 1} + i\frac{2x}{x^2 + 1}\)
Le premier terme est la partie réelle et ce qui multiplie \(i\) est la partie imaginaire.
Exercice 2 et corrigé
Notre menu se poursuit par l’entrée suivante : résoudre l’équation \(z^2 - 4z + 5\)\(=\) \(0.\)
Le calcul du discriminant conduit à -4. L’équation admet donc deux solutions de type \(z_1\) \(=\) \(\frac{-b + i\sqrt{|\Delta |}}{2a}\) et \(z_2\) \(=\) \(\frac{-b - i\sqrt{|\Delta |}}{2a}\)
En l’occurrence, \(z_1\) \(=\) \(\frac{4 - 2i}{2}\) \(=\) \(2 - i\) et \(z_2\) \(=\) \(2 + i\)
Exercice 3 et corrigé
Le plat du jour est extrait de l’épreuve du bac S de juin 1999 (Asie) :
- Pour tout nombre complexe \(Z,\) on pose \(P(Z) = Z^4 - 1.\)
- a - Factoriser \(P(Z)\)
Question facile si l’on se souvient des identités remarquables. \(P(Z)\) \(=\) \((Z - 1)(Z + 1)(Z^2 + 1).\)
- b - En déduire les solutions dans l’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes de l’équation \(P(Z) = 0,\) d’inconnue \(Z\) :
On voit que les solutions sont \(\{-1\, ; 1\, ; -i \, ; i\}.\)
- c - Déduire de la question précédente les solutions dans \(\mathbb{C}\) de l’équation d’inconnue \(z\) :
\[\left(\frac{2z + 1}{z - 1}\right)^4 = 1\]
C’est la technique classique du changement de variable. Si l’on remplace le quotient par une variable auxiliaire \(Z,\) on obtient \(Z^4 = 1,\) c’est-à-dire \(Z^4 - 1 = 0.\) La question précédente nous a permis d’affirmer que les solutions étaient -1, 1, \(i\) et \(-i.\) Pour peu que \(z\) soit différent de 1 et \(Z\) différent de 2, on a :
\(Z = \frac{2z + 1}{z - 1}\)
\(\Leftrightarrow 2z + 1 = Z(z - 1)\)
\(\Leftrightarrow z(2 - Z) = -Z - 1\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{Z + 1}{Z - 2}\)
On exprime \(z\) en fonction des quatre valeurs connues de \(Z.\) Il est évident que si \(Z = -1,\) alors \(z\) est nul et si \(Z = 1\) alors \(z = -2.\) Si \(Z = i,\) il faut suivre à nouveau la procédure de notre premier exercice.
\(z = \frac{i + 1}{i - 2}\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{(1 + i)(i + 2)}{(i - 2)(i + 2)}\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{i + 2 + i^2 + 2i}{i^2 - 4}\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{3i + 1}{-5}\)
\(\Leftrightarrow z = -\frac{1}{5} - \frac{3i}{5}\)
Et lorsque \(Z = -i,\) nous obtenons le conjugué de ce nombre.
Exercice 4 et corrigé
Et maintenant, le dessert. Il s’agit de la première question d’un exercice extrait de l’épreuve du bac S de juin 2002 (Antilles et Guyane).
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Le plan \(\mathscr{P}\) est rapporté au repère orthonormal direct \((O \,; \overrightarrow u , \overrightarrow v).\) On considère les points \(I\) et \(A\) d’affixes respectives 1 et -2. Le point \(K\) est le milieu du segment \([IA].\) On appelle \((\mathscr{C})\) le cercle de diamètre \([IA].\) Faire une figure et la compléter au fur et à mesure de l’exercice.
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Soit \(B\) le point d’affixe \(b\) où \(b = \frac{1 + 4i}{1 - 2i}.\) Écrire \(b\) sous forme algébrique et montrer que \(B\) appartient au cercle \((\mathscr{C}).\)
Correction. Pour l’avoir déjà fait deux fois depuis le haut de cette page, nous savons à présent transformer une écriture avec la plus grande aisance. En l’occurrence…
\(b = \frac{1 + 4i}{1 - 2i}\)
\(\Leftrightarrow b = \frac{(1 + 4i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)}\)
\(\Leftrightarrow b = \frac{1 + 6i + 8i^2}{1 - 4i^2}\)
\(\Leftrightarrow b = -\frac{7}{5} + \frac{6}{5}i\)
\(B\) appartient au cercle de centre \(K\) si la distance entre \(K\) et \(B\) (le rayon) est égale à celle qui sépare \(K\) et \(A.\) Il apparaît clairement dans l’énoncé que l’affixe de \(K\) est -0,5 et donc que \(KA = 1,5.\)
\(KB\) \(=\) \(|b - k|\) \(=\) \(|-\frac{7}{5} + \frac{6}{5}i + \frac{1}{2}|\) \(=\) \(|-\frac{9}{10} + \frac{6}{5}i|\)
La formule qui permet de calculer une distance euclidienne est connue depuis le collège. Il en découle que…
\(KB = \sqrt{\frac{81}{100} + \frac{36}{25}} = 1,5\)
Donc \(KA = KB,\) ce qui montre bien que \(B\) fait partie du cercle \((\mathscr{C}).\) Illustration avec Tracenpoche :
