Relations fonctionnelles des logarithmes népériens
Vous venez d’échouer sur une page destinée d’une part aux élèves de terminale qui découvrent le chapitre sur les logarithmes népériens et d’autre part à tous ceux qui voudraient retrouver ce qui se cache derrière ce mot aussi biscornu qu’un nom de médicament.
On s’exercera d’abord sur les surprenantes propriétés des logarithmes puis sur leurs conditions d’utilisation (équations et inéquations).
Les logarithmes, mode d’emploi
Rappel des propriétés. La plus essentielle mérite d'être encadrée :
| \(\ln a + \ln b = \ln ab\) |
Les suivantes en découlent.
- \(\ln a^n = n \ln a\)
- \(\ln \sqrt{a} = \frac{1}{2} \ln a\)
- \(\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b\)
- \(\ln \frac{1}{a} = - \ln a\)
De plus, \(\ln 1 = 0,\) \(\ln e = 1\) et \(\ln a\) n'existe que si \(a > 0.\)
Par exemple, à quoi est égal \(\ln 2 + \ln \frac{1}{2}\) ?
Plusieurs chemins mènent à la bonne réponse :
- \(\ln (2 × \frac{1}{2}) = \ln 1 = 0\)
- \(\ln 2 + (\ln 1 - \ln 2) = \ln 1 = 0\)
- \(\ln 2 + \ln 2^{-1} = \ln 2 - \ln 2 = 0.\)
Nous vérifions par la même occasion que toutes les propriétés des logarithmes n’en font qu’une seule… Pour mémoire, celle-ci a énormément contribué aux progrès scientifiques depuis la découverte des logarithmes au dix-septième siècle jusqu'à l'invention des ordinateurs. Par exemple, grâce aux tables de logarithmes, une multiplication très longue à réaliser manuellement était transformée en simple addition.
Allez, un exercice un peu plus long mais malgré tout assez simple (les jeux qui se trouvent à la fin des magazines sont souvent plus difficiles). Il s’agit de simplifier l’écriture suivante pour conserver une expression en \(\ln 2\) et \(\ln 3.\)
\[- \ln \frac{1}{18} + 2 \ln 9 + \ln \sqrt{2} - \ln \frac{8}{\sqrt{3}}\]
Corrigé. Toutes les astuces figurent dans les étapes de calcul ci-dessous :
\(= \ln 18 + 2 \ln 3^2 + \frac{1}{2} \ln 2\) \(-\) \((\ln 8 - \frac{1}{2} \ln 3)\)
\(= \ln (3^2 × 2) + 4 \ln 3\) \(+\) \(\frac{1}{2} \ln 2 - \ln 2^3 + \frac{1}{2}\ln 3\)
\(= 2 \ln 3 + \ln 2 + 4 \ln 3\) \(+\) \(\frac{1}{2} \ln 2 - 3 \ln 2 + \frac{1}{2} \ln 3\)
\(= \frac{13}{2} \ln 3 - \frac{3}{2} \ln 2.\)
Un bon réflexe consiste à vérifier à la calculatrice que l’énoncé et le résultat donnent bien le même nombre.
Autres exercices (sans le détail des corrigés). Montrer que :
- \(\ln 81 - \ln 12 + \ln \sqrt{3} - \ln \frac{2}{3}\) \(=\) \(\frac{9}{2} \ln 3 - 3 \ln 2\)
- \(\ln \frac{1}{3} + \ln 24 - \ln 2^{-3}\) \(=\) \(6 \ln 2\)
- \(\ln 72 + \ln 2^n - \ln \frac{1}{3}\) \(=\) \(3 \ln 3 + (3 + n) \ln 2\)
Autre type d'exercice : écrire l'expression suivante sous forme d'un seul logarithme...
\(\ln 3 + \ln 6 - \ln 2\)
Corrigé : \(\ln (3 × 6) - \ln 2\) \(=\) \(\ln \frac{18}{2}\) \(=\) \(\ln 9\)
Une bonne habitude consiste à vérifier à la calculatrice que l'on trouve bien le même nombre selon que l'on entre la formule de l'énoncé ou le résultat du calcul (en l'occurrence 2,197224577).
Équations et inéquations
La fonction logarithme n’est définie que sur \(\mathbb{R}_+^*.\) Par conséquent, résoudre une équation ou une inéquation dont les deux termes sont sous forme de logarithmes implique le respect d'une petite procédure : première étape, définition d’un domaine de validité. Deuxième étape, résolution de l’équation ou de l’inéquation sans les logarithmes. Troisième étape, adéquation des solutions avec le domaine de validité.
Exemple 1 : résoudre \(\ln ( x + 8)\) \(>\) \(\ln (x^2 - 4).\)
Comme vous êtes sympathique, nous vous détaillons les étapes.
Premièrement, les conditions de validité : \(x + 8 > 0\) et \(x^2 - 4 > 0.\) Du premier membre, on conclut que \(x > -8.\) Du second membre, on déduit que \(x\) ne doit pas se situer entre -2 et 2. Si vous vous demandez pourquoi, factorisez-le en utilisant la règle de l'identité remarquable : \((x + 2)(x - 2)\) puis aidez-vous d’un tableau de signes.
Par conséquent, si l’équation admet des solutions, elles doivent être telles que \(x\) \(∈\) \(]-8 \,; -2[\) \(\cup\) \(]2\, ; +\infty[.\)
Deuxièmement, résolution. La fonction \(\ln\) étant strictement croissante, l’inégalité ne change pas de sens si l’on ôte les logarithmes.
\(x + 8 > x^2 - 4,\) donc \(-x^2 + x + 12 > 0.\) Le déterminant est égal à 49 et les racines à -3 et à 4. Le trinôme est positif entre ces deux valeurs (signe contraire du coefficient de \(x^2\)).
Troisièmement, on remarque que toutes les solutions de cette deuxième inéquation ne font pas partie du domaine de validité. Dès lors, on ne retient que \(S\) \(=\) \(]-3\,; -2[\) \(\cup\) \(]2\, ; 4[.\)
Exemple 2 : résoudre l'équation \(\ln (x + 7) = 0.\)
Ici, pas besoin de procédure puisqu’un seul terme est sous forme de logarithme. Précisons tout de même que \(x\) doit être supérieur à -7. Sachant que \(\ln 1 = 0,\) il est évident que \(x = -6.\)
Exercice 3 : résoudre \(\ln (2 x + 3) > \ln (x - 5)\)
Le résultat est \(S\) \(=\) \(]5\, ; +\infty[.\) Il correspond à l'ensemble de définition du second membre de l'inéquation.
Mais encore…
Il existe sur ce site de nombreux exemples, théoriques ou appliqués, sur l’utilisation de logarithmes. Voir par exemple la page d'exercices avec logarithmes et exponentielles ou encore les intérêts composés.
Enfin, sachez qu'il existe d'autres logarithmes que les népériens (en fait, une infinité). Le plus courant est le logarithme décimal (voir la page d'exercices avec logarithmes décimaux).
