Exercices avec logarithmes népériens et exponentielles
Cette page présente quelques exercices en détaillant les corrigés. Leur niveau de difficulté est celui de la terminale générale. Ils illustrent quelques manipulations d'exponentielles et de logarithmes népériens (nous supposerons que vous savez résoudre les exercices de la page d'initiation aux logarithmes ainsi que ceux de la page sur les propriétés de l'exponentielle).
Exercice 1
Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \frac{\ln x}{x}\)
Corrigé
L'ensemble de définition est \(]0 \,; +\infty[.\) La structure de la fonction est de type \(\frac{u(x)}{v(x)}\). Celle de sa dérivée a donc pour structure \(\frac{u'(x)v(x) - v'(x)u(x)}{v(x)^2}.\) Nous trouvons rapidement \(f’(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}.\) Le signe de \(f’\) est le signe de son numérateur puisque \(x^2\) est positif. Donc, entre 0 et \(e,\) \(f’\) est positive et elle est négative entre \(e\) et l’infini.
Par conséquent, la fonction est croissante sur \(]0\,;e[,\) elle admet un maximum en \(e\) (où elle prend pour valeur \(e^{-1}\)) et elle est décroissante sur \(]e\,; +\infty[.\)
La courbe représentative de cette fonction figure en page inégalité de la moyenne.
Exercice 2
Calcul d'une limite de fonction.
Déterminer \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {\ln x} \right)^{\frac{1}{x}}}\)
Corrigé
Nous sommes en présence d’une forme indéterminée d’infini à la puissance 0. Notez bien que c’est \(\ln x\) qui est élevé à la puissance \(\frac{1}{x}\) et non \(x.\) Nous n’avons donc pas d’autre choix que de faire intervenir une exponentielle et sa réciproque, c'est-à-dire une fonction logarithme.
\((\ln x)^{\frac{1}{x}}\) \(=\) \(\exp[\ln(\ln x)^{\frac{1}{x}}]\) \(=\) \(\exp[\frac{1}{x}\ln(\ln x)]\)
Cette forme est d’ailleurs tout autant indéterminée. Intéressons-nous à l’expression entre crochets. Il est bien évident que, pour tout \(x > 1,\) nous avons \(x > \ln(\ln x)\) et qui plus est, si \(x > e\) alors \(\ln(\ln x)\) est positif. On a donc un numérateur de plus en plus inférieur au dénominateur au fur et à mesure que \(x\) augmente, donc :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln (\ln x)}}{x} = 0\)
Dans la mesure où \(e^0 = 1,\) comme d’ailleurs n’importe quel nombre élevé à la puissance 0, notre limite tend vers 1.
Exercice 3
Établir le tableau de variation de la fonction \(f \mapsto \ln (e^x + 2e^{-x}).\)
Cette fonction est définie, continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Le calcul des limites ne pose pas de difficulté en \( \pm \infty .\) C’est chaque fois \(+ \infty.\)
La dérivée sera sous la forme \(\frac{u'(x)}{u(x)}\). Il vient immédiatement que :
\(f'(x) = \frac{e^x - 2e^{-x}}{e^x + 2e^{-x}}\)
Mais cette forme n’est pas pratique. Une étude du signe réclame une forme factorisée. On sort \(e^{-x}\) du numérateur, étant entendu que \(e^x = e^{-x}e^{2x}.\) C’est pourquoi :
\(f'(x) = e^{-x}\frac{e^{2x} - 2}{e^x + 2e^{-x}}\)
Et là, on sait que \(e^{-x}\) est positif et idem pour le dénominateur. On n’étudie donc que le signe du numérateur. Si on a \(e^{2x} - 2 > 0,\) donc \(e^{2x} > 2,\) on fait intervenir les logarithmes pour transformer ceci en \(2x > \ln 2.\) On a le choix d’écritures suivant :
\(x > \frac{\ln 2}{2}\) ou \(\frac{1}{2} \ln 2\) ou \(\ln 2^{\frac{1}{2}}\) ou \(\ln \sqrt{2}\)
Et réciproquement, si le signe de notre dérivée est négatif, c’est que \(x\) est inférieur à cette valeur.
Il nous reste un dernier élément du tableau à trouver et c’est le minimum de la fonction.
\(f(\ln\sqrt{2}) = \ln(e^{\ln\sqrt{2}} + 2e^{-\ln\sqrt{2}})\)
\(\Leftrightarrow f(\ln\sqrt{2}) = \ln(\sqrt{2} + 2e^{-\frac{\ln 2}{2}})\)
\(\Leftrightarrow f(\ln\sqrt{2}) = \ln(\sqrt{2} + 2(e^{\ln2})^{-\frac{1}{2}})\)
\(\Leftrightarrow f(\ln\sqrt{2}) = \ln(\sqrt{2} + 2 \times 2^{-\frac{1}{2}})\)
\(\Leftrightarrow f(\ln\sqrt{2}) = \ln(\sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2}})\)
\(\Leftrightarrow f(\ln\sqrt{2}) = \ln2\sqrt{2}\)
Exercice 4
Voir la page d'exercice sur les surplus.
Exercices de dérivation
Voir les exercices de dérivation avec exponentielles.
