La fonction exponentielle

Notions sur la fonction exponentielle

Cette page évoque quelques rudiments sur la fonction exponentielle, qui fait partie du bagage indispensable de tout professionnel utilisant des techniques quantitatives. Elle s'adresse aux étudiants plutôt qu'aux lycéens (pour la classe de première générale, voir les pages de première approche de la fonction exponentielle et d'exercices avec exponentielle).

 

Présentation

La fonction exponentielle est celle des puissances de e, base des logarithmes népériens. Ce nombre irrationnel est environ égal à 2,71828183. Approché dans les travaux de Bürgi et de Napier, il a véritablement été découvert par Jacques Bernoulli puis baptisé e par Euler.

Cette fonction continue, convexe et strictement croissante et positive a l’honneur d’être la seule fonction qui non seulement est définie et dérivable sur l’ensemble des réels mais surtout qui est telle que sa dérivée f’ = f, avec f(0) = 1 (démonstration en page unicité de la fonction exp). On a le choix entre deux écritures : exp(x) ou ex.

Comme e est la base du logarithme népérien, la fonction exponentielle est la réciproque de la fonction ln (illustration graphique en page logarithmes). Conséquence, son emploi permet de supprimer d'inconvenants logarithmes. Exemple, si ln x = 2, alors x = e².

Les opérations algébriques permises par l'exponentielle sont enseignées en classe de terminale. Mais après tout, il ne s'agit que de classiques opérations sur les puissances. Tenez, par exemple : exp (x + y) = exp (x) × exp (y). Et, comme toute puissance nulle, e0 = 1.

 

Limites et courbe

Les limites de la fonction se devinent sur la courbe représentée plus bas :

limites

Croissances comparées, pour n strictement positif (l’exponentielle l’emporte sur la puissance) :

croissances comparées

Pour les cas où n = 1, les démonstrations se trouvent en page limites de la fonction exp.

Très important : soit u l'expression d'une fonction ; la dérivée de exp(u) : (eu)' = u'eu. Si u est égal à x, u’ est donc égal à 1. Si bien que, comme il est indiqué plus haut, (ex)’ = ex. Voir les exercices de dérivation avec exponentielles.

La courbe représentative de la fonction est bien connue (réalisation sur Sine qua non) :

courbe

Enfin, le nombre e est la limite de la suite (un) définie par un = [1 + (1 / n)]n pour tout n appartenant à N et donc de la fonction f définie par f(x) = [1 + (1 / x)]x.

Dévelopement limité : voir la page développement de Mc Laurin (pas aux programmes du secondaire).

Des exercices de niveau terminale se trouvent en page de fonction exponentielle au bac ES et d'exercices sur la fonction exponentielle.

 

Utilité en statistiques

Impossible de recenser tous les emplois de la fonction exponentielle. En voici quelques uns, appliqués aux techniques évoquées sur ce site...

La régression sur tendance exponentielle : assez rare lorsqu'elle modélise une croissance, il s’agit d’une régression « dangereuse » car on ignore quand un retournement surviendra. La modélisation d'une décroissance est plus fréquente. La régression sur tendance logistique est aussi employée.

Lois de probabilité : la plupart des lois de probabilité usuelles intègrent l’exponentielle dans leur formule de densité, au premier rang desquelles.... la loi exponentielle.

Régression logistique : les fonctions de transfert intègrent également les exponentielles dans leurs expressions.

 

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