Un problème avec exponentielle

Fonction avec exponentielle au bac

L’exercice suivant est extrait d’une épreuve de bac S (Polynésie, juin 2016). Il peut servir d’entraînement en terminale générale, tant en maths complémentaires qu’en spécialité. Et même d’un très bon entraînement (bien que, pour une épreuve de bac S, le sujet était particulièrement facile). Jugez plutôt : fonction exponentielle, dérivée, limites et continuité.

 

Énoncé

Partie A

    Voici deux courbes \({\mathscr{C}_1}\) et \({\mathscr{C}_2}\) qui donnent pour deux personnes \(P_1\) et \(P_2\) de corpulences différentes la concentration \(C\) d’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) en fonction du temps \(t\) après ingestion de la même quantité d’alcool. L’instant \(t = 0\) correspond au moment où les deux individus ingèrent l’alcool.
    \(C\) est exprimée en gramme par litre et \(t\) en heure.
    Définition : la corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps.

    1- La fonction \(C\) est définie sur l’intervalle \([0\,; +\infty[\) et on note \(C'\) sa fonction dérivée. À un instant \(t\) positif ou nul, la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang est donnée par \(C’(t).\)
    À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?
    On dit souvent qu’une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l’alcool.
    2- Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.
    3- Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentration \(C\) d’alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction \(f\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par

\[f(t) = Ate^{-t}\]

    où \(A\) est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcool absorbée.
    a. On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f.\) Déterminer \(f'(0).\)
    b. L’affirmation suivante est-elle vraie ?
    « À quantité d’alcool absorbée égale, plus \(A\) est grand, plus la personne est corpulente. »

Partie B. Un cas particulier

    Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration \(C\) d’alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps \(t,\) exprimé en heure, par la fonction \(f\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par

\[f(t) = 2te^{-t}\]

    1- Étudier les variations de la fonction \(f\) définie sur \([0\,;+\infty[.\)
    2- À quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur ? Arrondir à \(10^{-2}\) près.
    3- Rappeler la limite de \(\frac{e^t}{t}\) lorsque \(t\) tend vers \(+ \infty \) et en déduire celle de\(f(t)\) en \(+ \infty.\)
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    4- Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de \(0,2 g.L^{-1}\) pour un jeune conducteur.
    a. Démontrer qu’il existe deux nombres réels \(t_1\) et \(t_2\) tels que \(f(t_1) = f(t_2) = 0,2.\)
    b. Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ?
    Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.

(Le sujet comportait une question supplémentaire à partir d’un algorithme, non traitée ici).

 

Corrigé commenté

Partie A

1- La vitesse semble maximale dès l’ingestion d’alcool. En effet, c’est à l’origine du repère que les courbes semblent avoir des tangentes dont le coefficient directeur est le plus élevé.

2- Si la personne plus corpulente subit moins rapidement les effets de l’alcool, alors la courbe qui lui correspond est \({\mathscr{C}_2}\) (dans la zone proche de l’origine, le coefficient directeur de sa tangente est moins élevé).

3-a. Dérivée d’une fonction produit \(u(t)v(t)\) : \(u'(t)v(t) + u(t)v'(t)\) avec \(u(t) = At\) donc \(u'(t) = A\) et \(v(t) = e^{-t}\) donc \(v'(t) = -e^{-t}.\)

D’où \(f'(t) = Ae^{-t} - Ate^{-t}\) soit \(f'(t) = Ae^{-t}(1 - t)\)

Ainsi \(f'(0) = A\)

b. Que voici une question mal posée ! Ce n’est pas parce que \(A\) est grand qu’une personne est plus ou moins corpulente mais l’inverse ! Bref, ce n’est pas un sujet de littérature. Il fallait répondre que non, \(A\) étant le nombre dérivé en 0, plus il est grand plus le coefficient directeur de la tangente en 0 est élevé et moins la personne est corpulente (comme vu à la question 1).

Partie B

1- Nous avons établi que \(f’(t) = Ae^{-t}(1 - t).\) Ainsi le signe de \(f’(t)\) est du signe de \(1 - t\) puisque \(A\) est positif.

2- Comme l’indique le tableau de variation, la concentration d’alcool dans le sang de Paul est maximale une heure après l’absorption de rhum.

3- D’après les croissances comparées :

\(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{{e^t}}}{t} =  + \infty \)

Par quotient, \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } 2 \times \frac{1}{{\frac{{{e^t}}}{t}}} = 0\)

À terme, l’alcool est complètement éliminé (on s’en doutait !)

4- a. \(f\) est continue et strictement croissante sur l’intervalle \([0\,;1].\) Or \(f(0) = 0\) (donc inférieur à 0,2) et \(f(1) = 2e^{-1}\) soit environ 0,736. Comme \(2 ∈ [0\,;2e^{-1}],\) d’après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(t) = 0,2\) admet une solution \(t_1\) et une seule sur \([0\,; 1].\)

De même, \(f\) est continue et strictement décroissante sur \([1\, ;+ \infty[.\) Or \(f(1) > 0,2\) et sa limite en \(+ \infty\) est inférieure à 0,2. Donc l’équation \(f(t) = 0,2\) admet une unique solution \(t_2\) sur \([1 \,; +\infty[.\)

b. D’après la calculatrice, \(t_1 ≈ 0,112\) et \(t_2 ≈ 3,577.\)

En convertissant en heures et minutes, \(t_2\) correspond à 3h35 (car \(0,577 ≈ 34,6\)). Paul doit donc attendre 3h35 avant de reprendre le volant (ou alors il doit se dépêcher de partir pour être arrivé à destination dans les 7 minutes mais l’énoncé n’envisageait probablement pas cette hypothèse !)