Introduction à l'exponentielle de base a (ou q)
Ici vous trouverez une présentation succincte des fonctions de type \(f(x) = a^x\) ainsi que quelques entraînements sur les puissances. Cette page s'adresse surtout aux élèves de terminale technologique. Pour des niveaux supérieurs, voyez plutôt l’étude des fonctions exponentielles de base \(a\).
Un peu de cours…
Soit \(a\) un réel strictement positif. La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f(x) = a^x\) est appelée fonction exponentielle de base \(a.\) Elle est strictement positive et dérivable sur \(\mathbb{R},\) strictement décroissante si \(0 < a < 1\) et strictement croissante si \(a > 1.\)
Rappel des propriétés des puissances :
On peut remarquer la symétrie des courbes représentatives de fonctions de types \(f(x) = a^x\) et \(f(x) = (\frac{1}{a})^x\). Illustrons par un exemple. Soit les fonctions \(f,\) \(g\) et \(h\) définies sur \(\mathbb{R}\) telles que \(f(x) = 2^x,\) \(g(x) = 0,5^x\) et \(h(x) = 2^x + 0,5^x,\) les courbes représentatives apparaissent ainsi (\({\mathscr{C}_f}\) en rouge, \({\mathscr{C}_g}\) en bleu et \({\mathscr{C}_h}\) en vert). Réalisation avec le logiciel Sine Qua Non.
Les fonctions exponentielles de base \(a\) peuvent être considérées comme la version de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) des suites géométriques (de \(\mathbb{N}\) sur \(\mathbb{R}\)). Elles ont donc les mêmes limites à l’infini, qui dépendent de la valeur de \(a.\)
Exemple : soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = u_n × 1,3\) et soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = 1,3^x.\) Représentations graphiques (avec Excel et SineQuaNon) :
Exercice 1
Simplifier les expressions suivantes :
\[A = \frac{1,1^3 \times 1,1^{7,1}}{2,2}\]
\[B = (2,3^5)^{0,1} \times 2,3^{-4}\]
\[C(x) = 3,5(3,8^{2-x} + 3,8^{-x})\]
\[D(x) = \left(\frac{1}{x}\right) ^{2,4} \times \sqrt{x}\]
\[E(x) = (3^x + 4)(3^x - 4)\]
\[F(x) = \frac{x^{\frac{2}{5}}}{x^\frac{4}{7}}\]
Exercice 2
Sachant que les courbes ci-dessous représentent des fonctions exponentielles, trouver les équations de celles-ci.
Corrigé 1
\(A = \frac{1,1^{10,1}}{2 \times 1,1}\) \(= \frac{1,1^{9,1}}{2}\)
\(B = 2,3^{0,5} \times 2,3^{-4}\) \(= 2,3^{-3,5}\)
\(C(x) = 3,5 \times 3,8^{-x}(3,8^2 + 1)\) \(= 54,04 \times 3,8^{-x}\)
\(D(x) = x^{-2,4} \times x^{0,5} = x^{-1,9}\)
\(E(x) = 3^{2x} - 16\)
\(F(x) = x^{\frac{2}{5}} \times x^{-\frac{4}{7}}\) \(= x^{\frac{14}{35}} \times x^{-\frac{20}{35}}\) \(= x^{-\frac{6}{35}}\)
Corrigé 2
Soit \(f\) la fonction représentée par la courbe rouge. Nous remarquons que \(f(1) = 3.\) Donc \(f(x) = 3^x.\)
Soit \(g\) la fonction représentée par la courbe bleue. Le seul point identifiable par lequel elle passe a pour coordonnées \((2\,;5),\) c’est-à-dire \(g(2) = 5.\) Donc \(x^2 = 5.\) Il s’ensuit que \(g(x) = \sqrt{5}x.\)
Soit \(h\) la fonction représentée par la courbe verte. On sait que \(0 < a < 1\) puisque \(h\) est décroissante. On lit que \(h(-1) = 4.\) Si \(x^{-1} = 4\) (ou \(\frac{1}{x} = 4,\) si vous préférez), alors \(h(x) = 0,25^x.\)
Note : ces courbes illustrent aussi ce que vous saviez déjà : un réel à la puissance 0 est égal à 1.
