Voici un type de suite bien connu, enseigné en classe de première juste après les suites arithmétiques. Une suite est géométrique lorsque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par un même nombre. Une population d'insectes qui double tous les mois ou un compte d'épargne qui produit des intérêts composés de même pourcentage chaque année sont modélisables par des suites géométriques.

Pour exprimer ceci de façon plus formelle, une suite (u_n) est géométrique de raison q si, pour tout entier naturel n, u_n+1 = qu_n. Cette expression utilise la récurrence mais il est possible d’employer une formulation explicite : u_n = qⁿu₀ (si le premier terme est u₀). C'est la version discrète de la fonction exponentielle de base a.

Comment calculer un terme d’une suite géométrique ?

Si l’on connaît un des termes de la suite (n’importe lequel) et la raison, le calcul n’a rien d’un exploit. Exemple : on sait que la suite (u_n) est géométrique, que u₅ = 20 et que la raison s’établit à 1,2. Calculez u₇. Réponse : 20 × 1,2² = 28,8. (1,2 est élevé au carré puisqu'elle s'applique deux fois entre 5 et 7).

Comment calculer la raison d’une suite géométrique ?

Là encore, la technique est suffisamment intuitive pour ne pas consacrer une encyclopédie au sujet. Exemple : on sait que la suite (u_n) est géométrique, que u₅ = 2 et que u₈ = 54. Il faut poser l’équation 2 × q³ = 54 puisque la raison s’applique trois fois entre les cinquième et huitième termes. Donc q³ = 27. Il s’ensuit que q est la racine cubique de 27, c’est-à-dire 3.

Comment prouver qu’une suite est géométrique ?

Il faut montrer que quel que soit n, le rapport entre u_n+1 et u_n reste constant. La constante est la raison q.

Exemple 1 : la suite (u_n) définie pour tout n entier par u_n = 2ⁿ est-elle géométrique ? Oui. D'ailleurs, la raison est 2 :

Exemple 2 : la suite (u_n) définie pour tout n entier par u_n = n² est-elle géométrique ? Non car :

On peut triturer à loisir ce résultat, il ne sera jamais possible d’éliminer les n. La suite n’est donc pas géométrique.

Quelles sont les limites d’une suite géométrique ?

Si la valeur absolue de q est strictement supérieure à 1, la suite diverge vers l'infini. Sur tableur, j’ai établi ci-dessous un tableau qui résume quatre exemples de suites géométriques qui croisent les signes de la raison et de u₁, du moins pour les neuf premiers termes. Ces exemples permettent d’illustrer différentes situations de divergence. On devine que si la raison est strictement inférieure à -1, la suite n’admet aucune limite.

Si q est strictement compris entre -1 et 1, la suite converge vers zéro. Si q = 1 la suite est constante et si q = -1 elle est alternée (pas de limite).

Quelle est la somme des premiers termes d’une suite géométrique ?

Le premier terme n’étant pas forcément u₀, on peut préférer une formulation plus générale…

Exercice 1 (caractérisation d’une suite géométrique à partir d’une suite arithmético-géométrique).

Soit la suite (u_n) définie par récurrence :

Soit v_n = u_n – 12. Montrer que v_n est géométrique.

Corrigé :

On a v_n+1 = (0,5u_n + 6) – 12 = 0,5 u_n – 6.

La suite (v_n) est géométrique de raison ½.

Exercice 2 (deux suites emmêlées)

Les deux suites (u_n) et (v_n) sont définies, pour tout n entier naturel, par :

Soit la suite (w_n) définie par w_n = v_n – u_n et la suite (s_n) définie par s_n = v_n + u_n. Caractériser ces deux suites.

Corrigé. Vérifions que (w_n) est géométrique.

w_n+1 = v_n+1 – u_n+1. Donc :

(w_n) est une suite géométrique de premier terme w₀ = 2 et de raison q = ⅓. Suite suivante, SVP…

s_n+1 = v_n+1 + u_n+1

La suite est constante. On remarque tout de suite que s₀ = 2, donc tous les termes sont égaux à 2.

D’autres exemples ? Sur une somme de premiers termes, voir la page renégociation d’emprunt. D'autres applications se trouvent en pages annuités constantes, suites adjacentes et suites et probabilités.