Les suites géométriques

Généralités sur les suites géométriques

Voici un type de suite bien connu, enseigné en classe de première juste après les suites arithmétiques. Une suite est géométrique lorsque chacun de ses termes se déduit du précédent en étant MULTIPLIÉ par un même nombre. Une population d'insectes qui double tous les mois ou un compte d'épargne qui produit des intérêts composés de même pourcentage chaque année sont modélisables par des suites géométriques.

Cette page est un résumé de cours destiné aux élèves de première générale, de terminale STMG et de terminale ES. Elle suit cette progression de façon à ce que chacun y trouve son compte. Ce site web comporte des exemples et des exercices pour chaque niveau d'étude (voir les pages exercices de suites géométrique pour premières technologiques, somme de termes d'une suite géométrique, suite géométrique au bac ES, suites et probabilités (term. S ou ES) et exemple de suite arithmético-géométrique).

 

Généralités (pour toutes filières)

Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) si, pour tout entier naturel \(n,\) on a \(u_{n+1} = qu_n.\) Cette expression utilise la récurrence. Elle signifie que l'on multiplie toujours un terme de la suite par le même réel pour obtenir le suivant. Il existe aussi une formulation explicite : \(u_n = q^nu_0\) (si le premier terme est \(u_0\). Celle deuxième formule permet de calculer n'importe quel terme d'une suite géométrique sans avoir besoin de calculer tous les précédents. Elle est démontrée en page de démonstrations sur les suites.

La suite géométrique est la version discrète de la fonction exponentielle de base \(a\) (mais ce rapprochement n'est pas au programme de première !).

Comment calculer un terme particulier d’une suite géométrique ?

Si l’on connaît un terme de la suite (n’importe lequel) et la raison, le calcul n’a rien d’un exploit. Exemple : on sait que la suite \((u_n)\) est géométrique, que \(u_5 = 20\) et que la raison s’établit à 1,2. Calculons \(u_7.\) Réponse : \(20 × 1,2^2 = 28,8.\) (1,2 est élevé au carré puisque la progression s'applique deux fois entre 5 et 7).

Comment calculer la raison d’une suite géométrique ?

Là encore, la technique est suffisamment intuitive pour ne pas consacrer une encyclopédie au sujet. On a besoin de deux termes de la suite. Ensuite, on pose une équation.

Exemple : on sait que la suite \((u_n)\) est géométrique, que \(u_5 = 2\) et que \(u_8 = 54.\) Il faut poser l’équation \(2 × q^3 = 54.\) Pourquoi la raison \(q\) est-elle élevée au cube ? Parce que dans cet exemple, elle intervient trois fois entre les cinquième et huitième termes. Donc \(q^3 = 27.\) Il s’ensuit que \(q\) est la racine cubique de 27, c’est-à-dire 3 (c'est 3 à la puissance 3 qui est égal à 27).

Comment prouver qu’une suite est géométrique ?

Il faut montrer que quel que soit \(n,\) le rapport entre \(u_{n+1}\) et \(u_n\) reste constant. Le nombre obtenu est la raison \(q.\)

Exemple 1 : la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n\) entier par \(u_n = 2^n\) est-elle géométrique ? Oui. D'ailleurs, la raison est 2 :

\(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n}= 2\)

Exemple 2 : la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n\) entier par \(u_n = n^2\) est-elle géométrique ? Non car \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) \(= \frac{(n + 1)^2}{n^2}\) \(= \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2}\)

On peut triturer à loisir cette expression, il ne sera jamais possible d’éliminer \(n.\) La suite \((u_n)\) n’a pas le bonheur d'être géométrique.

Voir aussi les exercices sur les évolutions de suites.

 

Niveau première générale

Quelle est la somme des premiers termes d’une suite géométrique ?

\(S_n = u_o \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\)

Le premier terme n’étant pas forcément \(u_0,\) on peut préférer une formulation plus générale…

formule générale

Quelles sont les limites d’une suite géométrique ?

Si la valeur absolue de \(q\) est strictement supérieure à 1, la suite diverge (cette expression n'étant pas au programme de première, disons plutôt que pour \(n\) infini, les termes n'ont pas de limite finie). Sur Excel, voici ci-dessous un tableau qui résume quatre exemples de suites géométriques selon le signe de la raison et du premier terme. Ils illustrent différentes situations de divergence. On devine que si la raison est strictement inférieure à -1, la suite n’admet aucune limite.

suites géométriques

Si \(q\) est strictement compris entre -1 et 1, la suite converge vers zéro. Si \(q = 1\) la suite est constante et si \(q = -1\) elle est alternée (pas de limite). Les démonstrations figurent en page limites des suites de type \(q^n\) (suites géométriques dont le premier terme est \(u_0 = 1).\)

 

Exercice (deux suites emmêlées)

Les deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont définies, pour tout \(n\) entier naturel, par :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_0} = 0}\\ {{u_{n + 1}} = \frac{{2{u_n} + {v_n}}}{3}} \end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_0} = 2}\\ {{v_{n + 1}} = \frac{{u_n + 2{v_n}}}{3}} \end{array}} \right.\)

Soit la suite \((w_n)\) définie par \(w_n = v_n - u_n\) et la suite \((s_n)\) définie par \(s_n = v_n + u_n.\) Caractériser ces deux suites.

 

Corrigé

Vérifions que \((w_n)\) est géométrique.

\(w_{n+1}\) \(= v_{n+1} - u_{n+1}.\) Donc \(w_{n+1}\) \(= \frac{u_n + 2v_n}{3} - \frac{2u_n + v_n}{3} \) \(=\frac{-u_n + v_n}{3}\)

\[\frac{w_{n+1}}{w_n} = \frac{\frac{v_n - u_n}{3}}{v_n - u_n} = \frac{1}{3}\]

\((w_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(w_0 = 2\) et de raison \(q = \frac{1}{3}.\)

\(s_{n+1} = v_{n+1} + u_{n+1}\)

\(\Leftrightarrow s_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n}{3} + \frac{2u_n + v_n}{3}\)

\(\Leftrightarrow s_{n+1} = \frac{3u_n + 3v_n}{3}\)

\(\Leftrightarrow s_{n+1} = u_n + v_n = s_n\)

La suite est constante. On remarque tout de suite que \(s_0 = 2,\) donc tous les termes sont égaux à 2.

Des applications concrètes ? Sur une somme de premiers termes, voir la page sur la renégociation d’emprunt. Autre illustration en page d'annuités constantes.

 

suite géométrique