Un exemple de suite arithmético-géométrique

Suite arithmético-géométrique au bac ES

Dans les lycées français, l’étude des suites arithmético-géométriques fait partie du programme de maths de la terminale ES et de la terminale S.

Cette page présente un exercice tiré d'une épreuve du bac ES de 2010 (centres étrangers), spécialité maths (à l’époque, les suites n’étaient enseignées qu’en spécialité mais ce type de problème est depuis 2013 un classique des sujets de bac ES). Nous ne pouvons qu’encourager les élèves de terminale S à résoudre eux aussi cet exercice grâce au secours d’une suite géométrique, même s’ils trouveront l’énoncé plutôt directif…

 

Énoncé

Le nombre d’arbres d’une forêt, en milliers d’unités, est modélisé par la suite \((u_n)\) où \(u_n\) désigne le nombre d’arbres, en milliers, au cours de l’année (2010 + n). En 2010, la forêt possède 50 000 arbres. Afin d’entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque année \(5\%\) des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.

1- Montrer que la situation peut être modélisée par \(u_0 = 50\) et pour tout entier naturel \(n\) par la relation : \(u_{n+1} = 0,95u_n + 3.\)

2- On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = 60 - u_n\)

a) Montrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison 0,95.

b) Calculer \(v_0.\) Déterminer l’expression de \(v_n\) en fonction de \(n.\)

c) Démontrer que pour tout entier naturel \(n,\) \(u_n = 60 - 10 \times (0,95)^n.\)

3- Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l’unité.

4- a) Vérifier que pour tout entier naturel \(n,\) on a l’égalité :

\[u_{n+1} - u_n = 0,5 \times (0,95)^n.\]

b) En déduire la monotonie de la suite.

5- Déterminer l’année à partir de laquelle le nombre d’arbres de la forêt aura dépassé de \(10\%\) le nombre d’arbres de la forêt en 2010.

6- Déterminer la limite de la suite \((u_n).\) Interpréter.

 

Corrigé et explications

1- En 2010, 50 milliers d’arbres passent leur existence dans la forêt. Par conséquent, nous avons bien \(u_0 = 50.\)

Lorsque \(5\%\) des arbres sont lâchement abattus au cours d’une année, combien en reste-il ?

\(u_n \times \left( 1 - \frac{5}{100} \right) = 0,95u_n\)

En effet, 0,95 est le coefficient multiplicateur qui correspond à \(-5\%.\) Par ailleurs, on replante 3 milliers d’arbres chaque année. Donc \(u_{n+1} = 0,95u_n + 3.\)

2- a) Pour montrer qu’une suite \((v_n)\) est géométrique alors qu’elle est exprimée en fonction d’une suite arithmético-géométrique \((u_n),\) la procédure est toujours la même : il faut exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(u_{n+1},\) puis de \(u_n,\) puis de \(v_n.\) La démarche est simple car c’est un enchaînement de copier-coller, avec toutefois une factorisation un peu périlleuse…

\(v_{n+1} = 60 - u_{n+1}\)
\( \Leftrightarrow v_{n+1} = 60 - (0,95u_n + 3)\)
\( \Leftrightarrow v_{n+1} = 57 - 0,95u_n\)
\( \Leftrightarrow v_{n+1} = 0,95(60 - u_n)\)
\( \Leftrightarrow v_{n+1} = 0,95v_n\)

Donc \((v_n)\) est une suite géométrique de raison 0,95.

b) Question facile : \(v_0\) \(= 60 - u_0\) \(= 60 - 50\) \(= 10.\)

Le énième terme d’une suite géométrique s’exprime comme le premier terme multiplié par la raison à la puissance \(n.\) Donc \(v_n = 10 × 0,95^n.\)

c) Là encore, il s’agit d’un simple copier-coller. Nous savons que \(u_n = 60 - v_n,\) donc \(u_n = 60 -10(0,95)^n.\)

3- Le nombre d’arbres en 2015 est donné par \(u_5.\) En utilisant la formule précédente, on obtient \(u_5 = 52,262,\) soit 52 262 arbres.

4- a) Vérifions...

\(u_{n+1} - u_n = 60 - 10(0,95)^{n+1} - 60 + 10(0,95)^n\)
\( \Leftrightarrow u_{n+1} - u_n = 10 × (0,95)^n\,(-0,95 + 1)\)
\( \Leftrightarrow u_{n+1} - u_n = 0,5 × 0,95^n\)

b) \(n\) étant un entier naturel, \(0,5 × 0,95^n > 0,\) donc \(u_{n+1} > u_n\) ce qui implique que \((u_n)\) est une suite strictement croissante.

5- À partir de quelle année le nombre d’arbres aura dépassé 50 000 majoré de \(10\%,\) c’est-à-dire quand \(u_n\) sera supérieur à 55 ?

On pose \(u_n \geqslant 55.\) Pour résoudre une inéquation, il faut bien sûr retrouver l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) (question 2-c).

\(60 - 10(0,95)^n \geqslant 55\)
\( \Leftrightarrow 10 (0,95)^n \leqslant 5\)
\( \Leftrightarrow 0,95^n \leqslant 0,5\)

Lorsque l’inconnue est une puissance, on appelle à l’aide les logarithmes

\(\ln(0,95^n)\leqslant \ln 0,5\)
\( \Leftrightarrow n \ln 0,95 \leqslant \ln 0,5\)

Attention, \(\ln 0,95\) étant un nombre négatif, le sens de l’inégalité change…

\(n \geqslant \frac{\ln 0,5}{\ln 0,95}\)

Il s’ensuit que \(n \geqslant 13,51\) et comme \(n\) est un entier naturel, \(n = 14.\) C’est donc 14 ans après 2010, soit en 2024, que le nombre d’arbres de la forêt aura dépassé de \(10\%\) celui de 2010.

6- On sait que la limite à l’infini de \(q^n\) est 0 si \(q\) est strictement compris entre 0 et 1. Donc…

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } 60 - (10 \times {0,95^n}) = 60\)

À long terme, la forêt devrait se stabiliser à 60 000 arbres.

 

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