Voici un type de suite assez intéressant, notamment pour les mathématiques financières. Survolons d’abord un exemple compréhensible avant que je me lance dans les délires mathématiques : vous placez chaque année une même somme d’argent à un taux composé donné ; vos économies suivent une progression à la fois additive, ou arithmétique (c’est la somme supplémentaire) et multiplicative, ou géométrique (c’est le taux d’intérêt). Bon, place aux maths.

La suite arithmético-géométrique se définit comme une relation de récurrence affine entre un terme et le terme suivant de la suite. Soit u_n+1 = au_n + b. Évidemment, a est différent de 1 (ce serait alors une suite arithmétique) et b est différent de zéro (nous aurions une suite géométrique).

L’étude d’une telle suite nécessite quelques étapes puisqu’il faut passer par une suite auxiliaire géométrique. Il existe toujours un nombre c adéquat pour opérer cette transformation (mais on peut aussi passer par une série géométrique).

On pose alors v_n = u_n + c. C’est un peu comme si l’on retirait l’ordonnée à l’origine b d’une fonction affine pour qu’elle devienne linéaire. Sauf qu’ici, c’est par rapport à la première bissectrice y = x qu’on compare la droite représentative de la fonction définissant la suite. On va donc aussi jouer sur a.

Par conséquent, v_n est géométrique si :

On peut expliquer le mécanisme d’une autre façon : la suite géométrique à étudier apparaît comme la différence entre une suite arithmético-géométrique et une suite constante.

Lorsque a est compris entre -1 et 1, la limite de la suite est solution de l’équation x = ax + b, c’est-à-dire b / (1 – a). S’il est supérieur à 1, la suite diverge à l’infini. S’il est inférieur ou égal à -1, elle diverge (mais il s’agit de cas peu intéressants en économie).

Exemple

Depuis l’année qu’on nommera 0, une entreprise de téléphonie constate un taux de churn, c’est-à-dire de déperdition de sa clientèle, de 16 %. Dans le même temps, elle arrive à capter 100 000 prospects par an. Sachant qu’en 0, le nombre de clients était de 400 000, à quel nombre stable ceux-ci devraient-ils s’établir ?

Étudions la suite de premier terme u₀ = 400 000 définie par la relation de récurrence u_n+1 = 0,84 u_n  + 100 000.

Appliquons ce que nous venons de voir sur la limite. Le coefficient a est inférieur à 1. On trouve une limite de 625 000 clients. La suite est croissante mais si la clientèle de l’an 0 s’était établie à 900 000, la suite aurait été décroissante. Et si u₀ avait été égal à 625 000, la suite aurait été constante.

Illustrons par une représentation graphique cette suite arithmético-géométrique, après en avoir déterminé les premiers termes (sur Excel).

Il faudra pas mal d’années à notre entreprise pour atteindre sa vitesse de croisière… On s’en serait douté, le coefficient de 0,84 étant assez proche de 1. Remarquons que le recours à une suite géométrique n’est pas franchement utile sur les études de population. Elle l’est davantage pour les calculs financiers où, le coefficient multiplicateur du taux d’intérêt étant supérieur à 1, la limite est infinie (il faudrait toutefois être immortel pour devenir infiniment riche)...

Autre exemple

Détaillons maintenant l’exemple évoqué en introduction. Un épargnant ouvre un compte avec 5 000 € au début de la première année. Ce compte est rémunéré au taux de 4 % (intérêts composés versés en fin d’année). Puis il dépose 1 000 € chaque fin d’année.

Soit u_n la somme disponible à la fin de la énième année. Déterminer la relation de récurrence et la formule explicite.

Proposition de réponse :

La relation récurrente s’écrit u_n+1 = 1,04 u_n + 1 000. Notons au passage que le montant initial n’apparaît pas puisqu’il est inclus dans u_n.

La formule explicite nécessite le secours d’une suite géométrique.

Le calcul de c nous conduit à 1 000 / 0,04 = 25 000. Donc v_n = u_n + 25 000.

v_n+1 = 1,04 u_n + 1 000 + 25 000 = 1,04 u_n + 26 000  = 1,04(u_n + 25 000) = 1,04 v_n. La suite v_n est géométrique de raison 1,04. Le premier terme v₀ est égal à 30 000 (c’est-à-dire u₀ = 5 000 auquel on ajoute 25 000).

Pour conclure, v_n= 30 000 × 1,04ⁿ et u_n = 30 000 × 1,04ⁿ – 25 000. Nous avons découvert la formule qui permet de déterminer u_n sans avoir à calculer tous les termes précédents.

Un troisième exemple figure en page suites et probabilités.