Exemple de suite en situation probabilisée
Au lycée, les différents chapitres de mathématiques sont souvent enseignés sans que les élèves y trouvent une grande cohérence. Ainsi en est-il des suites numériques et des probabilités.
La page sur laquelle vous avez la joie de vous trouver reprend un sujet du bac ES d’Amérique du sud, novembre 1998 (enseignement de spécialité). Cet exercice a pour but d’éveiller une saine curiosité. Non, les suites et les probas ne font pas partie de deux mondes différents ! Ce type d'exercice fut même un grand classique des épreuves de maths au bac ES. C'est aussi un bon entraînement pour les élèves qui sont aujourd'hui en terminale générale.
Précaution : il y aura des indices d'indices alors sortez vos lunettes.
Allez, au travail…
Préambule
À partir de 1997, une association d’aide à la recherche médicale envoie chaque année à monsieur X un courrier pour l’inviter à l’aider financièrement par un don.
Monsieur X a répondu favorablement en 1997 en envoyant un don. On admet que, chaque année à partir de 1998, la probabilité pour que monsieur X fasse un don est égale à 0,9 s’il a fait un don l’année précédente et à 0,4 s’il n’a rien donné l’année précédente.
On note pour tout entier naturel \(n\) :
\(E_n\) : l’évènement : « monsieur X est donateur en 1998 + \(n\) »
\(P_n\) : la probabilité de \(E_n\) ; \(N_n\) l’évènement contraire de \(E_n.\)
Question 1
Traduire les données en termes de probabilités conditionnelles concernant les évènements \(E_{n+1},\) \(E_n,\) \(N_n.\)
Corrigé
Cette question n'exige aucun calcul. Il suffit de traduire une phrase rédigée en langage probabiliste.
\(P_{E_n}(E_{n+1}) = 0,9\) et \(P_{N_n}(E_{n+1}) = 0,4\)
Question 2
A) Préciser la valeur de \(P_0.\)
B) Calculer \(P(E_1 \cap E_0)\) et \(P(E_1 \cap N_0).\) En déduire la valeur de \(P_1.\)
Corrigé
Selon l’énoncé, l’année 0 correspond à 1998. Comme il y a eu don en 1997, \(P_0 = 0,9.\)
Pour répondre à la deuxième partie de la question nous pourrions construire un arbre de probabilité mais nous nous en passerons puisque vous connaissez certainement la formule…
Probabilité de don en 1998 et en 1999 :
\(P(E_1 \cap E_0)\) \(=\) \(P_{E_0} (E_1) × P(E_0)\) \(=\) \(0,9 × 0,9\) \(=\) \(0,81.\)
De même, la probabilité que monsieur X n’ait pas fait de don en 1998 (soit \(1 - 0,9 = 0,1\)) et qu’il en ait fait un en 1999 s'établit à \(0,1 × 0,4 = 0,04.\)
Ces deux probabilités forment une partition de l’univers, aussi applique-t-on la formule des probabilités totales (en clair, on les additionne !).
Donc \(P_1 = 0,85.\) La probabilité que monsieur X soit généreux en 1999 est égale à 0,85.
Question 3
A) Montrer que \(P(E_{n+1} \cap E_n) = 0,9P_n\) et que \(P(E_{n+1} \cap N_n)\) \(=\) \(0,4(1 - P_n)\) pour tout entier \(n.\)
B) En déduire que \(P_{n+1} = 0,5P_n + 0,4\) pour tout entier naturel \(n.\)
C) Quelle est la probabilité que monsieur X soit donateur en 2001 ?
Corrigé
Ces questions sont intéressantes car on glisse progressivement des probabilités vers les suites…
A) \(P(E_{n+1} \cap E_n)\) \(=\) \(P_{E_n} (E_{n+1}) × P_n\) \(=\) \(0,9 × P_n.\)
\(P(E_{n+1} \cap N_n)\) \(=\) \(P_{N_n} (E_{n+1}) × P(N_n)\) \(=\) \(0,4 × (1 - P_n).\)
B) Là encore, nous allons utiliser la formule des probabilités totales.
\(P_{n+1}\) est la somme de la probabilité de don alors qu’il n’y en a pas eu l’année précédente et de la probabilité de don sur deux ans consécutifs, donc des deux probabilités qu’on vient de déterminer.
Ainsi, \(P_{n+1} = 0,9P_n + 0,4(1 - P_n)\) \(=\) \(P_n (0,9 - 0,4) + 0,4\) \(=\) \(0,5P_n + 0,4.\)
Ceci nous fait irrésistiblement penser à une suite arithmético-géométrique, non ? Et comme le coefficient a, en l’occurrence 0,5, est inférieur à 1, la suite convergera vers une limite finie…
C) Il est demandé de calculer \(P_3.\)
\(P_3\) \(=\) \(0,5[(0,5 × P_1) + 0,4] + 0,4.\)
Nous avons vu en 2B) que \(P_1 = 0,85.\) On trouve donc \(P_3 = 0,8125.\)
On devine que la probabilité de générosité de monsieur X décroît légèrement avec les années…
Question 4
On définit une suite \((U_n)\) en posant, pour tout entier naturel \(n\) : \(U_n = P_n - 0,8.\)
A) Démontrer que la suite \((U_n)\) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
B) Exprimer \(U_n\) en fonction de \(n.\)
C) En déduire que \(P_n\) \(=\) \(0,1 × 0,5^n + 0,8\) pour tout entier naturel \(n.\)
D) Déterminer la limite de la suite \((P_n).\)
Corrigé
Petite devinette préalable : d’où sort ce 0,8 ?
Réponse : on le trouve à partir de la suite arithmético-géométrique vue en 3B), c’est-à-dire \(P_{n+1} = 0,5P_n + 0,4.\) Nous avons \(\frac{b}{1 - a} = \frac{0,4}{0,5} = 0,8.\)
Note : sur ce même exemple, cette valeur est obtenue d'une façon très différente en page de chaîne de Markov.
La question A) ne nécessite aucun cachet contre les maux de tête.
\(U_0 = P_0 - 0,8 = 0,1.\)
Par ailleurs, \(U_{n+1}\) \(=\) \(P_{n+1} - 0,8\) \(=\) \((0,5P_n + 0,4)- 0,8\) \(=\) \(0,5P_n - 0,4.\)
Or, \(P_n = U_n + 0,8.\) Donc \(U_{n+1} = 0,5U_n.\) Nous sommes bien en présence d’une suite géométrique et sa raison est 0,5.
B) \(U_n\) \(=\) \(U_0 × 0,5^n\) \(=\) \(0,1 × 0,5^n.\) C’est l’application de la formule explicite d’une suite géométrique.
C) La réponse est évidente. Puisque \(U_n = P_n - 0,8,\) alors \(P_n\) \(=\) \((0,1 × 0,5^n) + 0,8.\)
D) Comme nous l’avions tous pressenti, cette suite \((P_n)\) converge vers une limite qui n’est autre que 0,8, la limite à l’infini de \(0,1 × 0,5^n\) étant égale à zéro.
