Une initiation aux limites de suites

Limites des suites et représentations graphiques

Une suite se présente comme une liste de termes « numérotés ». Si elle est définie sur \(\mathbb{N}\), elle est infinie. Et à l’infini, quelles valeurs prennent ses termes ? That is the question. Pour connaître la réponse, il faut déterminer sa limite.

Note : cette page est destinée aux élèves de terminale (maths complémentaires). La page sur les limites de suites traite du même sujet mais elle est adaptée à la spécialité maths.

 

Limites

La limite d'une suite peut être un réel. Celui-ci n'est atteint qu'à l'infini. C'est-à-dire que, dans la plupart des cas, les valeurs de la suite progressent vers lui sans jamais l'atteindre (comme la fonction inverse progresse vers 0 sans jamais lui être égale). On dit alors que la suite est convergente. Sinon elle est divergente, soit que la limite est infinie, soit qu’elle n’existe pas (voir la page d'initiation aux suites convergentes et divergentes).

À titre d'exemple, la célèbre suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n = (-1)^n\) est périodique, majorée et minorée mais divergente.

Définition de la convergence : la suite \((u_n)\) admet pour limite le réel \(\ell\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient aussi toutes les valeurs de \((u_n).\)

Écriture : \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = \ell \)

Définition de la divergence vers \(+ \infty\) : la suite \((u_n)\) admet pour limite \(+ \infty\) si tout intervalle de la forme \(]a\,;+\infty[\) (avec \(a \in \mathbb{R}\)) contient toutes les valeurs de \(u_n\) à partir d'un certain rang.

Écriture : \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = +\infty \)

Vous l’aurez deviné sans mal, toute suite strictement croissante non majorée tend vers \(+ \infty\) et toute suite strictement décroissante non minorée tend vers \(- \infty.\) A contrario, les croissantes majorées ainsi que les décroissantes minorées convergent (Cf. le théorème de la convergence monotone, qui permet de déceler des comportements asymptotiques). Attention toutefois à la distinction entre limite et majorant (ou minorant). Une suite n’est pas toujours monotone et peut dépasser sa limite puis tendre vers elle, comme un encéphalogramme qui devient progressivement plat.

Si l'expression de la suite se présente comme celle d'une fonction, on utilise la panoplie d’outils permettant de déterminer la limite d’une fonction. Bien entendu, la seule limite recherchée est celle de \(+ \infty\) (voir la page d'opérations sur les limites de suites).

croissante

La recherche d'une limite de suite arithmétique ne mérite aucun calcul. Soit la raison est positive et c'est \(+ \infty,\) soit elle est négative et c'est \(- \infty.\)

De même, une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre -1 et 1 converge à coup sûr vers zéro. Attention, si elle est égale à 1, la suite est constante (converge vers \(u_0\)) mais si elle est inférieure ou égale à -1, la suite diverge et n’admet pas de limite. Voir les différents cas en page limites de suites géométriques.

 

Représentations graphiques

Il existe une façon graphique de représenter une suite, du moins si elle converge (la représentation d’une suite divergente n’étant pas d’un intérêt majeur). Les étapes de construction figurent en page représentation d'une suite et sont brièvement rappelées ci-dessous. Pourquoi évoquer ces représentations ? Parce qu'elle permettent très souvent de conjecturer une limite. En effet, il peut être judicieux de procéder à cette étape préalablement au calcul.

Prenons l’exemple simple d’une suite arithmético-géométrique, donc de type \(u_{n+1} = au_n + b\) avec \(a\) compris entre -1 et 1 exclus pour qu’elle converge. Imaginons \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_{n+1}=0,3u_n+2\) avec \(u_0 = 1.\) Graphiquement, la limite est visualisée comme le point de rencontre entre la première bissectrice \((y = x)\) et la courbe représentative de la suite.

Traçons la droite de la fonction affine d’équation \(y = 0,3x + 2\) et la droite d’équation \(y = x.\) Lorsque les deux se croisent, c’est que \(x = 0,3x + 2,\) soit \(x = 2,85714...\)

Une fois la suite initialisée, ici au point d’abscisse 1, on « rebondit » horizontalement sur la droite (ou la courbe) représentant la fonction jusqu’à la première bissectrice. Le point d’impact nous donne la valeur de u1. Même technique pour trouver les valeurs suivantes. Comme on s’en doute, la limite est au croisement des deux droites, au point d’abscisse 2,85714…

Un tableur constitue un outil merveilleux pour lister les premiers termes d’une suite :

premiers termes

Notons que si u0 avait été supérieur à 2,85714…, la suite aurait été décroissante et serait parvenue au même point mais, graphiquement, en arrivant du nord-est.

Deuxième exemple où \(u_{n+1}\) est la racine carrée de \(u_n.\) C’est donc une suite géométrique de raison 0,5. On initie la suite n’importe où. Prenons 4. Les premières valeurs de \(u_n\) sont alors les suivantes :

premiers termes

Le graphe montre que la suite converge vers 1 (courbe représentative de la fonction racine carrée en rouge).

courbes

 

suite et fin