Une suite se présente comme une liste de nombres numérotés. Les numéros augmentent indéfiniment. Et à l’infini, quelles valeurs prennent les éléments de la suite ? That is the question. Pour connaître la réponse, il faut chercher la limite.

Lorsque la limite à l’infini est un réel, la suite est CONVERGENTE. Sinon elle est DIVERGENTE, soit que la limite est infinie, soit qu’elle n’existe pas.

La suite (u_n) définie par u_n = (-1)ⁿ, par exemple, est périodique, bornée mais divergente.

Vous l’aurez deviné sans mal, toute suite croissante non majorée tend vers plus l’infini et toute suite décroissante non minorée tend vers moins l’infini. A contrario, les croissantes majorées ainsi que les décroissantes minorées convergent forcément quelque part (théorème de la convergence monotone, qui permet de déceler des comportements asymptotiques). Attention toutefois à la distinction entre limite et majorant (ou minorant). Une suite n’est pas forcément monotone et peut dépasser sa limite puis tendre vers elle, comme un encéphalogramme qui devient progressivement plat.

Si l'expression de la suite se présente comme celle d'une fonction, on utilise la panoplie d’outils permettant de déterminer la limite d’une fonction. Bien entendu, on ne cherche ici qu’une seule limite, en « plus l’infini ».

La limite d’une suite arithmétique ne mérite aucun calcul. Soit la raison est positive et la limite est « plus l’infini », soit elle est négative et la limite de la suite est « moins l’infini ». De même, une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre -1 et 1 converge forcément vers zéro. Attention, si la raison est égale à 1, la suite est constante (elle converge vers u₀) mais si elle est égale à -1, elle diverge et n’admet pas de limite.

En statistiques, la limite d'une suite de variables aléatoires permet de définir un éventuel mode de convergence.

Il existe une façon graphique de représenter la limite d’une suite, du moins convergente (la représentation d’une suite divergente n’étant pas d’un intérêt majeur). Tous les détails en page représentation d'une suite.

Prenons l’exemple simple d’une suite arithmético-géométrique, donc de type u_n = au_n + b avec a compris entre -1 et 1 exclus pour qu’elle converge.  Imaginons u_n+1 = 0,3u_n + 2 avec u₀ = 1. La limite est alors visualisée comme le point de rencontre entre la première bissectrice (y = x) et la courbe représentative de la suite définie comme une fonction.

On trace la droite de la fonction affine d’équation y = 0,3x + 2 et la droite d’équation y = x. Lorsque les deux se croisent, c’est que x = 0,3x + 2, donc x = 2 / 0,7, soit 2,85714...

Une fois que l’on a initialisé la suite, ici au point d’abscisse 1, on « rebondit » horizontalement sur la droite (ou la courbe) représentant la fonction jusqu’à la première bissectrice. Le point d’impact nous donne la valeur de u₁. Même technique pour trouver les valeurs suivantes. Comme on s’en doute, la limite est au croisement des deux droites, au point d’abscisse 2,85714…

Un tableur constitue un outil merveilleux pour lister les premiers termes d’une suite :

Notons que si j’avais choisi u₀ supérieur à 2,85714…, la suite aurait été décroissante et serait parvenu au même point mais en arrivant du nord-est.

Deuxième exemple où u_n+1 est la racine carrée de u_n. C’est donc une suite géométrique de raison 0,5. On initie la suite n’importe où. Prenons 4. Les premières valeurs de u_n sont alors les suivantes :

Le graphe montre que la suite converge vers 1 (fonction racine carrée en rouge).

Nombres particuliers

Certains nombres peuvent être appréhendés comme des suites, spécialement lorsque le nombre de décimales est infini. Il est facile de montrer que ces suites sont convergentes puisqu'elles sont majorées et croissantes (par définition).

Ainsi, la constante de Champernowne est le réel qui s'obtient en ajoutant progressivement les entiers successifs en fin de décimale. En terme de suite, on a par exemple, u₁₂ = 0,123456789101112.