Linéarité et utilisation en statistiques
La linéarité de la moyenne est enseignée dès la classe de seconde et celle de l'espérance l'est en terminale (voir la page sur les propriétés de l'espérance). Cette propriété est au cœur des techniques statistiques les plus employées. Certes, ces dernières sont loin de suivre un long fleuve linéaire, mais elles l’utilisent comme représentation de la réalité lorsque cette dernière veut bien s’y prêter. Et les propriétés mathématiques de la linéarité fournissent une boîte à outils volumineuse. Alors si vous êtes d’attaque pour supporter une petite introduction là-dessus...
La linéarité en mathématiques
Une application est linéaire si elle conserve une stricte proportionnalité. L'exemple le plus simple est celui d'une fonction linéaire à une variable. Ce peut être un chiffre d'affaires qui est fonction des quantités vendues, du moment que le prix unitaire reste toujours le même (pas de ristourne).
Situons-nous maintenant au niveau général. Soit une application d’un espace vectoriel dans un autre, sur un même corps. Si les combinaisons linéaires de l’ensemble de départ sont maintenues dans l’ensemble d’arrivée, il y a linéarité.
Exemple : \(f(aX + bY + cZ)\) \(= af(X)\) \(+ bf(Y)\) \(+ cf(Z).\)
On le devine sans mal, une composée d’applications linéaires est linéaire, tout comme une somme de ces applications et la multiplication d'une application linéaire par un scalaire.
Lorsqu’on a application linéaire d'un espace dans lui-même (par exemple \(\mathbb{R}^n\)), on parle d’endomorphisme et s’il y a bijection entre deux ensembles, on parle d’isomorphisme. Un endomorphisme bijectif est un automorphisme. Reconnaissons que ces mots sont peu pratiques à placer lors d’un dîner en ville mais s’il n’y a que des couples à être présents, il y a bien isomorphisme entre le sous-ensemble des hommes et celui des femmes, du moins dans les situations les plus courantes.
Une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\), qui constitue un type d'application très fréquent, est nommée forme linéaire.
Isomorphismes
Un mot sur cette notion abstraite d'isomorphisme, très importante en mathématiques. Son intérêt est de préserver la structure d'un espace dans un autre et, comme il y a bijection, de retrouver la structure de départ grâce à l'application inverse.
La composée de deux isomorphismes est aussi un isomorphisme.
Applications affines
Dans les cas où \(f(0)\) est différente du vecteur nul l’application n’est pas linéaire mais si elle le devient grâce à une simple translation, elle est affine. Par exemple, la proportionnalité \(f(x) = 5x\) est une fonction linéaire tandis que \(f(x) + 1\) est une fonction affine. Dans les deux cas, elles se traduisent graphiquement par des droites dans le plan mais seule la représentation de la première passe par l'origine.
Illustrations mathématiques
La dérivation est une opération linéaire puisque \((af)’ = af’\) et \((f + g)’\) \(= f’ + g’.\) Et on voit bien que notre petite vérification fonctionne si \(a = 0.\)
Autre exemple : \(f(x,y)\) \(= (xy,x + y).\) Certes, \(f(0, 0)\) est égal au vecteur nul mais \(f(ax , ay)\) \(= (a^2xy , ax + ay),\) c’est-à-dire \(a(axy , x + y)\) \(\ne a[f(x , y)].\) Cette application n’est pas linéaire.
Les intégrales vérifient la propriété de linéarité :
\(\displaystyle{\int_a^b {kf(x)dx}} \) \(=\) \(\displaystyle{k\int_a^b {f(x)dx,}}\) avec \(k \in \mathbb{R}\)
\(\displaystyle{\int_a^b {f(x)dx + \int_a^b {g(x)dx}}} \) \(=\) \(\displaystyle{\int_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx}} \)
Voir la présentation de niveau terminale avec la linéarité de l'intégrale et une illustration avec les intégrales de Wallis.
Les suites et les équations différentielles peuvent ou non montrer une structure linéaire.
Illustrations statistiques
Abusivement, les statisticiens utilisent le terme de LINÉAIRE pour décrire une application affine. C'est ce que nous feronsci-dessous.
Une projection de points sur une droite vectorielle parallèlement à une même direction est linéaire. Songez à une droite de régression (projections par rapport à l’axe des ordonnées) ou à une ACP (projections orthogonales à un axe).
Moins visuelle, l'ANOVA est aussi une technique linéaire.
Une application rencontrée dans le cadre d'une régression multiple est une forme linéaire : \(F(x_1, x_2,…,x_n)\) \(= a_1x_1\) \(+ a_2x_2\) \(+ …\) \(+ a_nx_n.\)
Les applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^m\) font intervenir le calcul matriciel. D'une manière générale, les techniques d'analyse de données traitant des tableaux utilisent pour la plupart le calcul matriciel, donc l'algèbre linéaire.
Les techniques de prévision les plus usitées l'emploient également, en particulier les processus autorégressifs (voir opérateur retard). Le lissage exponentiel et les processus ARMA sont fondés sur la linéarité.
